Peubah Acak dan Sebarannya – Fungsi Kepadatan Peluang

📋 Daftar Isi

Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi yang mendefinisikan peluang pada suatu daerah rentang R_X disebut fungsi kepadatan peluang (fkp) atau proportion density function (pdf) yang dibedakan untuk peubah diskrit dan kontinu.

Peubah Acak Diskrit

f(x) disebut fungsi kepadatan peluang untuk peubah diskrit pada ruang rentang R_X, jika dan hanya jika memenuhi kedua syarat berikut:

\[ f(x) \geq 0, \: untuk \: R_X = {x_1, x_2, …} \] \[ \sum_{x \epsilon R_X} f(x) = 1 \]

Kemudian jika

\[ A = {x_1, x_2, …, x_n} \subseteq R_X \]

maka akan berlaku sebagai berikut

\[ P(A) = \sum_{x_i \epsilon A} p(x_i) \]

Peubah Acak Kontinu

f(x) disebut fungsi kepadatan peluang untuk peubah kontinu pada ruang rentang R_X, jika dan hanya jika memenuhi kedua syarat berikut:

\[ f(x) \geq 0,\: untuk \: \forall x \epsilon R_X \] \[ \int_{x \epsilon R_X} f(x) dx = 1 \]

Kemudian jika

\[ A = {x| c \leq x \leq d} \subseteq R_X \]

maka akan berlaku sebagai berikut

\[ P(A) = \int_{c}^{d} f(x) dx \]

Definisi di atas mengimplikasikan bahwa peluang titik pada peubah acak kontinu adalah 0, karenanya batas himpunan sama atau tidak (dalam arti intervalnya tertutup atau terbuka), tidak mempengaruhi nilai peluang.

\[ P(X = x_1) = \int_{x_1}^{x_1} f(x) dx = 0 \] \[ P(c<X<d) = P(c \leq X < d) = P(c<X\leq d) = P(c \leq X \leq d) \]

Contoh Soal dan Jawaban

Nomor 1

Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi kepadatan peluang pada daerah yang didefinisikan f(x) = 1/3 untuk x = 1, 2, 3

\[ f(x) = \frac{1}{3} \geq 0, \: untuk \: x = 1, 2, 3 \] \[ \sum_{x=1}^{3} f(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} =1 \]

Karena syarat 1 dan 2 terpenuhi, maka f(x) = 1/3 adalah fungsi kepadatan peluang untuk x = 1, 2, 3

Nomor 2

Tentukan k sehingga fungsi f(x) = kx untuk x = 1, 3, 5 menjadi fungsi kepadatan peluang

\[ f(x) = kx \geq 0, \: untuk \: x > 0, \: maka \: k \geq 0 \] \[ \sum_{x} f(x) = k + 3k + 5k = 9K = 1, \: jadi \: k = 1 \]

Nomor 3

Selidiki apakah fungsi f(x) = 1/2 untuk 1 < x < 3 merupakan fungsi kepadatan peluang

\[ f(x) = \frac{1}{2} \geq 0, \: untuk \: 1<x<3 \] \[ \int_{x=1}^{3} f(x) dx = \int_{x=1}^{3} \frac{1}{2} dx = [\frac{1}{2} x]_{1}^{3} = (\frac{3}{2} – \frac{1}{2}) = 1 \]

Karena syarat 1 dan 2 terpenuhi, maka f(x) = 1/2 adalah fungsi kepadatan peluang untuk 1 < x< 3

Nomor 4

Tentukan k sehingga fungsi f(x) = kx² untuk 0 < x < 1 menjadi fungsi kepadatan peluang

\[ f(x) = kx^2 \geq 0, \: untuk \: 0<x<1, \: maka \: k \geq 0 \] \[ \int_{x=0}^{1} f(x) dx = \int_{x=0}^{1} kx^2 dx = [\frac{1}{3} kx^3]_{0}^{1} = \frac{1}{3} k = 1, \: jadi \: k = 3 \]