📋 Daftar Isi
Fungsi Pembangkit Momen
Jika X adalah peubah acak, maka Fungsi Pembangkit Momen atau Moment Generative Function (MGF) dari X didefinisikan sebagai berikut.
\[
M_x(t) = E(e^{tx}) = \left\{\begin{matrix}
\sum_{R_x} e^{tx} f(x), \: untuk \: X \: diskrit \\
\int_{R_x} e^{tx} f(x) dx, \: untuk \: X \: kontinu
\end{matrix}\right.
\]
Pembuktian
\[
M_x(t) = \sum e^{tx} f(x)
\]
\[
M’_x(t) = \sum x e^{tx} f(x)
\]
\[
M”_x(t) = \sum x^2 e^{tx} f(x)
\]
\[
\cdots
\]
\[
M_x^r(t) = \sum x^r e^{tx} f(x)
\]
Jika t = 0, maka:
\[
M’_x(0) = \sum x f(x) = E(X)
\]
\[
M”_x(0) = \sum x^2 f(x) = E(X^2)
\]
\[
\cdots
\]
\[
M_x^r(0) = \sum x^r f(x) = E(X^r)
\]
Sifat
\[
Jika \: y = ax+b, \: maka \: MGF-nya \: adalah \: M_y(t) = e^{bt} M_x(at)
\]
\[
Jika \: y = x – \mu, \: maka \: MGF-nya \: adalah \: M_y(t) = e^{-\mu t} m_x(t)
\]
Contoh
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan f(x) = e -x dan x > 0, maka tentukan MGF, mean, dan varians!
Menentukan MGF
Pertama, mari kita temukan MGF yang sesuai dari pdf yang diberikan.
\[
M_x(t) = \int_x e^{tx} f(x) dx
\]
\[
M_x(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tx} e^{-x} dx
\]
\[
M_x(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tx-x} dx
\]
\[
M_x(t) = \int_{0}^{\infty} e^{(t-1)x} dx
\]
\[
M_x(t) = [ \frac{e^{(t-1)x}}{t-1} ]^{\infty}_{0}
\]
\[
M_x(t) = \frac{1}{t-1} [e^{-(1-t)x}]_{0}^{\infty}
\]
\[
M_x(t) = \frac{1}{t-1} (0-1)
\]
\[
M_x(t) = \frac{1}{1-t}, t< 1
\]
\[
M_x(t) = (1-t)^{-1}
\]
Jadi, didapatkan persamaan MGF-nya adalah (1 – t) -1
Menentukan Mean
\[
M’_x(t) = -(1-t)^{-2}(-1)
\]
\[
M’_x(t) = (1-t)^{-2}
\]
\[
E(X) = M’_x(0)
\]
\[
E(X) = (1-0)^{-2}
\]
\[
E(X) = 1
\]
Jadi, didapatkan nilai mean sebesar 1
Menentukan Varians
\[
M”_x(t) = -2(1-t)^{-3}(-1)
\]
\[
M”_x(t) = 2(1-t)^{-3}
\]
\[
E(X^2) = M”_x(0)
\]
\[
E(X^2) = 2(1-0)^{-3}
\]
\[
E(X^2) = 2
\]
\[
Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2
\]
\[
Var(X) = 2 – 1
\]
\[
Var(X) = 1
\]
Jadi, didapatkan nilai varians sebesar 1
Materi Lengkap
Untuk memperdalam pemahaman mengenai Peubah Acak dan Sebarannya, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.
