๐ Daftar Isi
Fungsi Pembangkit Faktorial Momen
Fungsi Pembangkit Faktorial Momen atau Factorial Moment Generative Function (FMGF) dari X didefinisikan sebagai berikut.
\[
G_x(t) = E(t^x), \: untuk \: 1-h < t < 1+h
\]
Hubungan MGF dan FMGF
\[
G_x(t) = E(t^x) = E(e^{\ln t^x}) = E(e^{x \ln t}) = M_x (\ln t)
\]
Jika X mempunyai FMGF, maka berlaku sebagai berikut.
\[
G’_x(1) = E[X]
\]
\[
G”_x(1) = E[X(X-1)]
\]
\[
\cdots
\]
\[
G^r_x(1) = E[ X(X-1)(X-2) \cdots (X-r+1) ]
\]
Catatan
\[
E[X(X-1)] = E[X^2 – X] = E[X^2] – E[X]
\]
Sehingga…
\[
E[X^2] = E[X] + E[X(X-1)]
\]
Contoh
Variabel peubah acak diskrit mempunyai pdf sebagai berikut.
\[
f(x) = \left\{\begin{matrix}
(\frac{1}{2})^{x+1}, \: untuk \: x=0,1,2,\cdots \\
0, \: untuk \: x \: lainnya
\end{matrix}\right.
\]
Tentukan FMGF, mean, dan varians!
Clue!
\[
M_x(t) = \frac{1}{2-e^t}
\]
Jawaban
Menentukan FMGF
\[
G_x(t) = M_x(\ln t)
\]
\[
G_x(t) = \frac{1}{2-e^{\ln t}}
\]
\[
G_x(t) = \frac{1}{2-t}, t < 2
\]
Jadi, FMGF-nya adalah 1/(2 – t) untuk t < 2
Menentukan Mean
\[
G’_x(t) = -1(2-t)^{-2}(-1)
\]
\[
G’_x(t) = (2-t)^{-2}
\]
\[
E[X] = G’_x(1)
\]
\[
E[X] = (2-1)^{-2}
\]
\[
E[X] = 1
\]
Jadi, didapatkan mean sebesar 1
Menentukan Varians
\[
G”_x(t) = -2(2-t)^{-3}(-1)
\]
\[
G”_x(t) = 2(2-t)^{-3}
\]
\[
E[X(X-1)] = G”_x(1)
\]
\[
E[X(X-1)] = 2(2-1)^{-3}
\]
\[
E[X(X-1)] = 2
\]
\[
E[X^2 – X] = 2
\]
\[
E[X^2] – E[X] = 2
\]
\[
E[X^2] = 2 + E[X]
\]
\[
E[X^2] = 2 + 1
\]
\[
E[X^2] = 3
\]
\[
Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2
\]
\[
Var(X) = 3 – 1^2
\]
\[
Var(X) = 2
\]
Jadi, didapatkan varians sebesar 2
Materi Lengkap
Untuk memperdalam pemahaman mengenai Peubah Acak dan Sebarannya, berikut materi selengkapnya yang akan dibahas.