Metode Statistika – Ukuran Pemusatan

📋 Daftar Isi

Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok). Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interpretasi dan mengambil suatu keputusan. Ukuran pemusatan terdiri dari rata-rata, median, dan mean.

Rata-Rata (Mean)

Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh nilai data kemudian dibagi dengan banyaknya (jumlah) data. Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan antara lain:

Rata-Rata Hitung (Arithmetic Mean)

Rata-Rata Hitung Tidak Tertimbang

Jika x₁, x₂, …, x_n adalah kumpulan data sebanyak n sampel dari N populasi dimana x_i adalah nilai karakteristik unit sampel ke-i, maka rata-rata hitungnya adalah sebagai berikut.

Sampel

\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

Populasi

\[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]

Data Berkelompok

\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} M_if_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \]

M_i = nilai tengah kelas ke-i
f_i = frekuensi kelas ke-i
k = banyaknya kelas

Rata-Rata Hitung Tertimbang

Penimbang (W_i) adalah suatu angka yang dipakai sebagai penimbang atau pembobot dari setiap nilai x_i agar nilai statistik yang dihasilkan lebih akurat / teliti. Pemilihan angka penimbang (timbangan) adalah angka atau ukuran yang relatif (ada hubungannya dengan data yang dihitung).

\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

Rata-Rata Harmonis (Harmonic Mean)

Rata-rata ukur adalah rata-rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan. Rata-rata harmonis ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (aritmatik). Baik digunakan jika data yang ada (populasi atau sampel) mempunyai beberapa pencilan.

k = banyaknya kelas atau kelompok
f_i = frekuensi kelas ke-i
x_i = nilai tengah pada kelas ke-i

Data Tunggal

\[ R_h = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \]

Data Berkelompok

\[ R_h = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i}{\sum_{i=1}^{k} \frac{f_i}{x_i}} \]

Harmonis Tertimbang

\[ R_h = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i}{\sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{x_i}} \]

Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)

Rata-rata ukur digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain saling berkelipatan. Rata-rata ukur ini sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan.

Data Tunggal

\[ G = \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n} \] \[ G = (x_1x_2 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \]

\[ \log (G) = \log(x_1x_2 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \] \[ \log (G) = \frac{1}{n}(\log(x_1) + \cdots + \log(x_n)) \] \[ \log (G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log (x_i) \]

\[ G = antilog (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log (x_i)) \]

n = banyaknya data
x_i = nilai perubahan relatif (dalam persentase) per satuan waktu

Data Berkelompok

\[ G = (x_1^{f_1} x_2^{f_2} \cdots x_k^{f_k})^{\frac{1}{n}} \] \[ G = (\prod_{i=1}^{k} x_i^{f_i})^{\frac{1}{n}} \]

\[ \log (G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} \log (x_i)^{f_i} \] \[ \log (G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i \log (x_i) \]

\[ G = antilog (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i \log (x_i)) \]

x_i= nilai tengah kelas ke-i
f_i = frekuensi kelas ke-i
Π = perkalian
∑ = penjumlahan

Tingkat Bunga Majemuk

\[ P_n = P_0(1+r)^n \] \[ r = \sqrt[n]{\frac{P_n}{P_0} – 1} \]

P_n = jumlah akumulasi pada akhir tahun ke-n
P₀ = jumlah uang mula-mula
r = tingkat bunga (dalam desimal)

Plus Minus

Kelebihan

Rata-rata lebih populer dan lebih mudah digunakan
Dalam satu set data, rata-rata selalu ada dan hanya ada satu rata-rata
Dalam penghitungannya selalu mempertimbangkan semua nilai data
Tidak peka terhadap penambahan jumlah data
Variasinya paling stabil
Cocok digunakan untuk data yang homogen

Kekurangan

Rata-rata sangat peka terhadap angka-angka ekstrem. Dengan demikian, rata-rata dari serangkaian data yang memiliki angka ekstrem akan menjadi kurang representatif
Untuk data kualitatif, rata-rata tidak dapat digunakan untuk menentukan ukuran pusat datanya
Untuk data yang telah dikelompokkan, hasil perhitungannya tidak mencerminkan rata-rata yang sesungguhnya
Untuk data yang telah dikelompokkan dengan kelas terbuka, rata-ratanya tidak dapat dihitung

Nilai Tengah (Median)

Median adalah suatu nilai yang terletak di tengah kelompok data yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Karena suatu kelompok terbagi atas dua jenis yaitu kelompok ganjil dan kelompok genap maka terdapat dua solusi menentukan median yang dapat digunakan untuk kasus tersebut.

Data Tunggal

Pada data tunggal, median ditentukan sebagai berikut.

Data Ganjil

\[ Med = x_{\frac{n}{2}} \]

Data Genap

\[ Med = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} \]

Keterangan

Med = median data
x_n/2 = data ke-n/2
x_{(n/2) + 1} = data ke-(n/2) + 1

Data Berkelompok

\[ Med = t_b + (\frac{\frac{n}{2} – F_{kum}}{f_i}) k \]

Med = median
t_b = tepi bawah kelas median
n = banyak data
F_kum = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f_i = frekuensi kelas makan
k = panjang kelas

Plus Minus

Kelebihan

Tidak dipengaruhi oleh data ekstrem
Dapat digunakan untuk data kualitatif maupun kuantitatif
Cocok untuk data heterogen

Kekurangan

Tidak mempertimbangkan semua nilai data
Kurang menggambarkan rata-rata populasi
Peka terhadap penambahan jumlah data
Median hanya dapat ditentukan dari data yang telah diurutkan, sehingga hal ini membutuhkan waktu yang tidak sedikit

Modus

Modus adalah nilai berfrekuensi tertinggi / atau terbanyak dari sekelompok data. Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai modus atau mungkin mempunyai dua modus atau lebih. Distribusi disebut unimodal, kalau mempunyai satu modus, bimodal kalau mempunyai dua modus atau multimodal kalau mempunyai lebih dari dua modus.

Data Tunggal

\[ modus = mean- 3(mean – median) \]

Data Berkelompok

\[ Mo = L_{Mo} + I(\frac{f_{m1}}{f_{m1} + f_{m2}}) \]

Keterangan

L_mo = tepi bawah kelas modus
I = interval kelas
f_m1 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan kelas sebelumnya
f_m2 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan kelas setelahnya