Kalkulus – Konsep Limit dan Penerapannya

📋 Daftar Isi

Pengertian Limit

Limit adalah batas nilai suatu fungsi f(x) untuk nilai x mendekati a dari kanan (a⁺) dan kiri (a^–), dapat dinotasikan sebagai berikut.

\[ \lim_{x \rightarrow a}f(x)=L \]

Artinya, jika x mendekati a (tetapi a tidak sama dengan x) maka f(x) mendekati nilai L. Jadi dapat dikatakan limit adalah nilai pendekatan fungsi saat variabelnya mendekati nilai tertentu. Untuk dapat memahami pengertian limit, perhatikannya contoh berikut:

\[ f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} \]

Jika variabel x diganti dengan 1, maka:

\[ f(x)=\frac{0}{0} \]

Dengan kata lain f(x) tidak terdefinisi dan tidak dapat ditentukan nilainya. Untuk itu perhatikanlah grafik dan tabel berikut:

.tg-wrap {padding-bottom: 20px;} .tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;margin:0px auto;} .tg td{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-wa1i{font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-6k50{text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-nrix{text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-vkbb{font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:middle} @media screen and (max-width: 767px) {.tg {width: auto !important;}.tg col {width: auto !important;}.tg-wrap {overflow-x: auto;-webkit-overflow-scrolling: touch;margin: auto 0px;}}

x	0,5	0,8	0,9	0,99	1	1,01	1,1	1,2	1,5
f(x)	1,5	1,8	1,9	1,99	?	2,01	2,1	2,2	2,5

Dari tabel tersebut ketika x = 1, f(x) menjadi tidak terdefinisi. Dapat dilihat juga bahwa ketika f(x) didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan) sama-sama mendekati nilai 2, dapat ditulis sebagai berikut :

\[ \lim_{x\rightarrow1^{-}} f(x) = \lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=2 \rightarrow \lim_{x\rightarrow1} f(x) = 2 \]

Karena limit kiri sama dengan limit kanan, f(x) mempunyai limit di x = 1 atau dapat ditulis sebagai berikut:

\[ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2 \]

Penerapan Limit di Berbagai Bidang

Bidang Kedokteran

Limit juga berguna untuk menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest
Menghitung kemungkinan berapa persen suatu virus menular dengan melalui udara, area kontribusi dan kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit

Bidang Ekonomi

Limit fungsi sering digunakan oleh pemerintah dalam menentukan pajak yang harus dibayar masyarakat.
Untuk menghitung biaya rata-rata dan bunga

Bidang Fisika

Untuk menghitung kecepatan jatuhnya suatu benda atau kecepatan suatu kendaraan
Menghitung rotasi bumi dan benda lain seperti elips

Bidang Kimia

Untuk menghitung kekuatan besi yangg bergesekan dengan air asin dan menghitung ketahanannya dalam menghadapi pengkaratan.
Pembuatan tanggal kedaluwarsa makanan.