📋 Daftar Isi
Limit fungsi aljabar dapat dicari dengan memasukkan nilai x ke dalam fungsi. Limit fungsi aljabar tak dapat berupa bentuk tak tentu.
\[
\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}
\]
Limit Fungsi Aljabar x Mendekati a
Limit fungsi aljabar x mendekati a dengan bentuk tak tentu, dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan pembuat nol, dengan:
Pemfaktoran
Contoh 1
\[
\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}=1+1=2
\]
Contoh 2
\[
\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}=\lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{(2+2)}{(2+3)}=\frac{4}{5}
\]
Perkalian dengan sekawan
Contoh 1
\[
\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-\sqrt{6-x}}
\]
\[
=\lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x^{2}-4)(x+\sqrt{6-x})}{x^{2}-(6-x)}
\]
\[
=\lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)(x+\sqrt{6-x})}{x^{2}+x-6}
\]
\[
=\lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)(x+\sqrt{6-x})}{(x-2)(x+3)}
\]
\[
=\frac{(2+2)(2+\sqrt{6-2})}{(2+3)}
\]
\[
=\frac{16}{5}
\]
Contoh 2
\[
\lim-{x\rightarrow 0}\frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}
\]
\[
=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x-\sqrt{x})(x-\sqrt{x})}{x^{2}-x}
\]
\[
= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-2x\sqrt{x}+x}{x^{2}-x}
\]
\[
=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x-2\sqrt{x}+1)}{x(x-1)}
\]
\[
=\frac{(0-2\sqrt{0}+1}{(0-1)}
\]
\[
=-1
\]
Dalil L’Hospital
Contoh 1
\[
lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x^{3}-5x^{2}-2x-3}{4x^{3}-13^{2}+4x-3}
\]
\[
=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{6x^{2}-10x-2}{12x^{2}-26x+4}
\]
\[
=\frac{6(3)^{2}-10(3)-2}{12(3)^{2}-26(3)+4}
\]
\[
=\frac{11}{17}
\]
Contoh 2
\[
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{4x-6-\sqrt{x^{2}+3x+18}}{3-x}
\]
\[
=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{4-{\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+18}}}}{-1}
\]
\[
=\frac{4-{\frac{2(3)+3}{2\sqrt{(3)^{2}+3(3)+18}}}}{-1}
\]
\[
=\frac{-13}{4}
\]
Limit Fungsi Aljabar x Mendekati ∞ (Tak Tentu)
Bentuk 1
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+ …}{px^{m}+qx^{m-1}+ …} = \frac{\infty}{\infty}
\]
- n = pangkat x tertinggi (derajat) pembilang
- m = pangkat x tertinggi (derajat) penyebut
dapat diselesaikan dengan:
Jika n = m
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{p}
\]
Jika n > m
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm{\infty}
\]
Jika n < m
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0
\]
Contoh
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}+x-3}{x+1}
\]
\[
=\frac{2x^{2}…}{x…}
\]
\[
=\infty
\]
Bentuk 2
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{ax^{n}+bx^{n-1}+…}-\sqrt{px^{m}+qx^{n-1}+…}=\infty-\infty
\]
dapat diselesaikan dengan:
Jika a = p
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-g(x)=\frac{b-r}{n\sqrt[2]{a^{n-1}}}
\]
Jika a > p
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-g(x)=+\infty
\]
Jika a < p
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-g(x)=-\infty
\]
Contoh
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{4x^{2}+x+1}-2x+3
\]
\[
=\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{4x^{2}+x+1}-\sqrt{(2x-3)^{2}}
\]
\[
=\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{4x^{2}+x+1}-\sqrt{2x^{2}-12x+9}
\]
\[
=\frac{-1}{12}
\]
Materi Lengkap
Berikut adalah beberapa materi lengkap yang membahas tuntas mengenai Limit.
