📋 Daftar Isi
Aturan-aturan
Beberapa aturan yang digunakan pada turunan fungsi aljabar, sebagai berikut :
.tg-wrap {padding-botom: 20px;} .tg {text-align:center;vertical-align:top;border-collapse:collapse;border-color:#ccc;border-spacing:0;} .tg td{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-wa1i{font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-awal{width:50%;font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-6k50{text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-nrix{text-align:center;vertical-align:middle} .tg-tf2e .mjx-chtml {text-align: center !important;}| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| \[k(konstanta)\] | \[0\] |
| \[k·x\] | \[k\] |
| \[n·k·x^{n-1}\] | \[k·x^{n}\] |
Contoh Soal dan Penyelesaian
Pengerjaan bentuk U + V dan U – V
Contoh 1
\[
y=x^{4}-5x^{2}-7
\]
Jawab 1
\[
y’=4x^{4-1}-2.5x^{2-1}-0
\]
\[
y’=4x^{3}-10x
\]
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dan kedua dari
\[
f(x)=(x-5)(x+7)
\]
Jawab 2
\[
f(x) = x^{2}+2x-35
\]
\[
f'(x)=2x^{2-1}+2-0
\]
\[
f'(x)=2x+2
\]
\[
f”(x)=2
\]
Contoh 3
Tentukan turunan dari
\[
f(x)=3x\sqrt{x}-7\sqrt{x}-5x
\]
Jawab 3
\[
f(x)=3x^{\frac{3}{2}}-7x^{\frac{1}{2}}-5x
\]
\[
f'(x)=3.\frac{3}{2}.x^{\frac{1}{2}}-7.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}}-5
\]
\[
f'(x)=\frac{9}{2}\sqrt{x}-\frac{7}{2\sqrt{x}}-5
\]
Contoh 4
Tentukan turunan y terhadap x dari
\[
y=2a^{2}x^{2}-3ax^{4}+5x+a+7
\]
Jawab 4
\[
\frac{dy}{dx}=2.2a^{2}.x^{2-1}-4.3a.x^{4-1}+5+0
\]
\[
\frac{dy}{dx}=4a^{2}x-12ax^{3}+5
\]
Pengerjaan Bentuk U · V
Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari
\[
y=2x^{2}\sqrt{2-x}
\]
Jawab 1
\[
U=2x^{2}
\]
\[
V=\sqrt{2-x}=(2-x)^{\frac{1}{2}}
\]
\[
U’=4x
\]
\[
V’=\frac{1}{2}(2-x)^{\frac{-1}{2}}(-1)=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}\]
\[
y’=U’V+UV’
\]
\[
y’=4x\sqrt{2-x}+2x^{2}\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}
\]
\[
y’=\frac{8x-4x^{2}-x^{2}}{\sqrt{2-x}}
\]
\[
y’=\frac{8x-5x^{2}}{\sqrt{2-x}}
\]
Contoh 2
Tentukan turunan dari
\[
f(x)=(3x+4)(8-x)
\]
Jawab 2
\[
U=3x+4
\]
\[
V=8-x
\]
\[
U’=3
\]
\[
V’=-1
\]
\[
f'(x)=U’V+UV’
\]
\[
f'(x)=(3)(8-x)+(3x+4)(-1)
\]
\[
f'(x)=24-3x-3x-4
\]
\[
f'(x)=20-6x
\]
Contoh 3
Tentukan turunan kedua dari f(x) dan nilai f”(1)
\[
f(x)=(x-2)^{2}(3-x)
\]
Jawab 3
\[
U=(x-2)^{2}
\]
\[
V=3-x
\]
\[
U’=2(x-2)(1)=2x-4
\]
\[
V’=-1
\]
\[
f'(x)=U’V+UV”
\]
\[
f'(x)=(2x-4)(3-x)+(x-2)^{2}(-1)
\]
\[
f'(x)=6x-2x^{2}-12+4x=x^{2}+4x-4
\]
\[
f'(x)=-3x^{2}+14x-16
\]
\[
f”(x)=(2)(-3x^{2-1})+14-0
\]
\[
f”(x)=-6x+14
\]
\[
f”(1)=-6(1)+14
\]
\[
f”(1)=8
\]
Contoh 4
Tentukan da/db dari
\[
a=(2b-4)(b-1)(3-b)
\]
Jawab 4
\[
U=2b-4
\]
\[
V=b-1
\]
\[
W=3-b
\]
\[
U’=2
\]
\[
V’=1
\]
\[
W’=-1
\]
\[
\frac{da}{db}=U’VW+UV’W+UVW’
\]
\[
=2(b-1)(3-b)+(2b-4)(1)(3-b)+(2b-4)(b-1)(-1)
\]
\[
=2(3b-b^{2}-3+b)+(6b-2b^{2}-12+4b)-(2b^{2}-2b-4b+4)
\]
\[
=8b-2b^{2}-6+10b-2b^{2}-12-2b^{2}+b-4
\]
\[
\frac{da}{db}=19b-6b^{2}-22
\]
Pengerjaan Bentuk U / V
Contoh 1
Tentukan y’ dari
\[
y=\frac{3x+2}{2x+3}
\]
Jawab 1
\[
U=3x+2
\]
\[
V=2x+3
\]
\[
U’=3
\]
\[
V’=2
\]
\[
y’=\frac{U’V-UV’}{V^{2}}
\]
\[
y’=\frac{(3)(2x+3)-(3x+2)(2)}{(2x+3)^{2}}
\]
\[
y’=\frac{6x+9-6x-4}{4x^{2}+12x+9}
\]
\[
y’=\frac{5}{4x^{2}+12x+9}
\]
Contoh 2
Tentukan nilai f'(x) dari
\[
f(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}
\]
Jawab 2
\[
U=1
\]
\[
V=1+x^{-1}
\]
\[
U’=0
\]
\[
V’=-x^{-2}
\]
\[
f'(x)=\frac{U’V-UV’}{V^{2}}
\]
\[
f'(x)=\frac{(0)(1+x^{-1})-(1+x^{-1})^{2}}{(1+x^{-1})^{2}}
\]
\[
f'(x)=\frac{x^{-2}}{1+2x^{-1}+x^{-2}}=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}
\]
\[
f'(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+1}
\]
Pengerjaan Bentuk Un
Contoh 1
Tentukan turunan dari
\[
y=(1-5x)^{6}
\]
Jawab 1
\[
y’=6(1-5x)^{6-1}(-5)
\]
\[
y’=-30(1-5x)^{5}
\]
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dan kedua dari
\[
y=(x-2)^{3}
\]
Jawab 2
\[
y’=3(x-2)^{3-1}(1)
\]
\[
y’=3(x-2)^{2}=3(x^{2}-4x+4)
\]
\[
y’=3x^{2}-12x+12
\]
\[
y”=3(2x^{2-1})-12
\]
\[
y”=6x-12
\]
Contoh 3
Tentukan turunan dari
\[
g(x)=(\sqrt{x}-5)^{2}+2\sqrt{x}+2
\]
Jawab 3
\[
U=\sqrt{x}-5=x^{\frac{1}{2}}-5
\]
\[
V=2\sqrt{x}=2x^{\frac{1}{2}}
\]
\[
W=2
\]
\[
U’=\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
\[
V’=2\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}
\]
\[
W’=0
\]
\[
g'(x)=2(\sqrt{x}-5)\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+0
\]
\[
g'(x)=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{x-4\sqrt{x}}{x}
\]
\[
g'(x)=1-\frac{4\sqrt{x}}{x}
\]
