Stratified Random Sampling – Alokasi Sampel (Part II)

📋 Daftar Isi

Setelah pada artikel sebelumnya di Part I kita membahas alokasi sampel dengan cara alokasi sembarang, alokasi sama (equal), dan alokasi sebanding (proportional) selanjutnya kita akan membahas alokasi sampel dengan cara alokasi Neyman dan alokasi optimum.

4. Alokasi Neyman

Pada alokasi Neyman, kita telah memasukkan unsut ragam kedalamnya sehingga semakin beragam ukurannya maka semakin besar n-nya. Jika ada variabel pendukung yang bisa digunakan untuk mengetahui nilai varians strata populasi maupun sampel ( \(S_h^2\) atau \(s_h^2\) ), maka alokasi Neyman akan meningkatkan presisi dari metode sampling. Pada alokasi ini, biaya setiap strata diasumsikan sama. Fokus dalam metode ini adalah mengalokasikan sampel ke dalam setiap strata agar diperoleh standar error sekecil mungkin dengan memperhatikan besarnya varians. Jika varians strata semakin besar ( \(S_h^2\) ), maka jumlah sampel yang dialokasikan ke dalam strata tersebut akan semakin besar.

Ukuran Sampel Keseluruhan

Ukuran sampel strata ke-h :

\[ n_h = \frac{N_h S_h}{\sum_{h=1}^{L} N_h S_h} n \]

dimana ukuran sampel keselurahan adalah,

\[ n = \frac{(\sum_{h=1}^{L} N_h S_h)^2}{N^2 D^2 + \sum_{h=1}^{L}N_h S_h^2} \]

Note:
Ingat pada Part I mengenai penjelasan apa itu D dan nilai-nilai lainnya. Cek terlebih dahulu artikel tersebut ya..

Varians Alokasi Neyman

Untuk pengambilan sampel secara WOR

\[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} W_h^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{n_h} \] \[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} (\frac{N_h}{N})^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{nN_hs_h} (\sum_{h=1}^{L}N_hs_h) \] \[ v(\bar{y}_{st}) = \frac{1}{N^2n} (\sum_{h=1}^{L} (1-f_h) N_h s_h)(\sum_{h=1}^{L}N_hs_h) \]

Untuk pengambilan sampel secara WR

\[ v(\bar{y}_{st}) = \frac{1}{N^2n} (\sum_{h=1}^{L}N_hs_h)^2 \]

Ingat rumus umum varians

\[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} W_h^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{n_h} \]

5. Alokasi Optimum

Sampel yang berukuran n dialokasikan ke dalam setiap strata sedemikian rupa sehingga diperoleh varians sekecil mungkin dengan biaya yang tersedia atau meminimumkan biaya dengan varians tertentu. Jadi, alokasi Neyman yang ditambahkan faktor biaya akan menjadi alokasi optimum.

Fungsi biaya:

\[ C = C_o + \sum_{h=1}^{L} C_h n_h \]

Ukuran sampel strata ke-h:

\[ n_h = \frac{N_h \frac{S_h}{\sqrt{C_h}}}{\sum_{h=1}^{L} (N_h\frac{S_h}{\sqrt{C_h}})} n \]

dengan,
C = total biaya
C_o = biaya yang tidak dipengaruhi desain dan metode sampling
C_h = biaya per elemen untuk strata ke-h

Contoh, C_o adalah biaya yang diberikan tiap responden misalnya 100 ribu rupiah. C_h adalah biaya jika lokasinya jauh, jika lokasinya sekian maka membutuhkan biaya transportasi dan sebagainya sebesar x rupiah.

Nilai optimum n_h didapatkan dari fungsi

\[ \psi = v(\bar{y}_{st}) + \lambda C \]

dengan, \(\lambda\) = konstanta. \(\lambda\) merupakan Lagrange Multiplier dimana n_h bisa ditentukan di mana \(\lambda\) dapat meminimumkan \(\psi\)

Ukuran Sampel Keseluruhan

Meminimumkan biaya dengan varians tertentu

\[ n = \frac{(\sum_{h=1}^{L} N_h S_h \sqrt{C_h})(\sum_{h=1}^{L}N_h \frac{S_h}{\sqrt{C_h}})}{N^2 D^2 + \sum_{h=1}^{L} N_h S_h^2} \]

Meminimumkan varians dengan biaya tertentu

\[ n = \frac{(C-C_o)(\sum_{h=1}^{L}N_h \frac{S_h}{\sqrt{C_h}})}{\sum_{h=1}^{L}N_h S_h \sqrt{C_h}} \]

Varians Alokasi Optimum

Untuk pengambilan sampel secara WOR

\[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} W_h^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{n_h} \] \[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} (\frac{N_h}{N})^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{nN_h\frac{s_h}{\sqrt{C_h}}} (\sum_{h=1}^{L}\frac{N_hs_h}{\sqrt{C_h}}) \] \[ v(\bar{y}_{st}) = \frac{1}{N^2n} (\sum_{h=1}^{L}(1-f_h)N_hs_h\sqrt{C_h}) (\sum_{h=1}^{L}\frac{N_hs_h}{\sqrt{C_h}}) \]

Untuk pengambilan sampel secara WR

\[ v(\bar{y}_{st}) = \frac{1}{N^2n} (\sum_{h=1}^{L}N_hs_h\sqrt{C_h}) (\sum_{h=1}^{L}\frac{N_hs_h}{\sqrt{C_h}}) \]

Relative Efficiency

Perbandingan antar alokasi sampel. Jika fpc (finite population correction) diabaikan, maka:

\[ V_{opt} \leq V_{prop} \leq V_{srs} \]

Kesimpulan Alokasi Sampel

Pada bagian pembahasan mengenai alokasi sampel, dapat disimpulkan bahwa ukuran sampel pada suatu strata akan lebih besar dari strata lainnya jika: