Kalkulus - Contoh Soal Penerapan Turunan

📋 Daftar Isi

Soal 1

Tunjukkan bahwa fungsi \(f(x)=-x^{3}+6x^{2}-12x+8\) tidak pernah naik dan \(g(x)=x^{3}+2x^{2}+8x+6\) selalu naik.

Jawab :

\[ f(x)=-x^{3}+6x^{2}-12x+8 \] \[ Syarat \space : \space f'(x)≤0 \] \[ f'(x)=-3x^{2}+12x-12 \] \[ f'(x)=-3(x^{2}-4x+4) \] \[ f'(x)=-3(x-2)^{2} \] \[ (selalu \space negatif), \space f'(x)<0 \] \[ g(x)=x^{3}+2x^{2}+8x+6 \] \[ Syarat \space : \space f'(x)>0 \] \[ f'(x)=3x^{2}+4x+8 \] \[ f'(x)=3(x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{8}{3})(kuadrat \space sempurna) \] \[ f'(x)=3((x+\frac{2}{3})^{2}+\frac{20}{9}) \] \[ f'(x)=3(x+\frac{2}{3})^{2}+\frac{20}{3}(selalu \space positif), \space f'(x)>0 \]

Soal 2

Karton berbentuk persegi panjag dengan ukuran \(5\times 8 dm\), keempaat pojoknya dipotong persegi dengan sisi \(x\) dm. Dari bangun yang didapat, diibuat sebuah kotak tanpa tutup. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum.

Jawab :

Misalkan daaerah yang diarsir adalah bangun yang didapat,

\[ p=8-2x \] \[ l=5-2x \] \[ t=x \] \[ V=p\times l \times t \] \[ V=(8-2x)(5-2x)(x)=48x-26x^{2}+4x^{3} \] \[ V’=40-52x+12x^{2}=0 \] \[ 0=3x^{2}-13x+10 \] \[ (3x-10)(x-1) \] \[ x=1 \space atau \space x=\frac{10}{3} \]

Uji dengan turunan pertama untuk menentukan mana titik maksimum (titik balik maksimum)

Dari garis bilangan, diketahui bahwa nilai maksimum terjadi pada x=1, maka :

\[ p=8-2(1) \] \[ p=6 \space dm \] \[ l=5-2(1) \] \[ l=3 \space dm \] \[ t=1 \space dm \]

Soal 3

Diketahui sebuah kotak beralas persegi. Jika luas permukaan kotak 192 cm² . Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum jika kotak tidak memiliki tutup dan kotak memiliki tutup.

Jawab :

Jika kotak beralaskan persegi maka,

\[ p=x \] \[ l=x \] \[ t=y \] \[ V=p \times l \times t =x^{2}y \]

Kotak tidak memilliki tutup

\[ x^{2}+4xy=192 \] \[ V=x^{2}\times \frac{192-x^{2}}{4x}=48x=\frac{1}{4}x^{3} \] \[ V’=48-\frac{3}{4}x^{2}=0 \] \[ x^{2}=64 \] \[ x=8 \] \[ y=\frac{192-(8)^{2}}{4(8)}=4 \] \[ V(max)=(8)^{2}\times 4 \] \[ V(max)=256 cm^{3} \]

Kotak memiliki tutup

\[ 2x^{2}+4xy=192 \] \[ y=\frac{96-x^{2}}{2x} \] \[ V=x^{2}\frac{96-x^{2}}{2x}=48x-\frac{1}{2}x^{3} \] \[ V’=48-\frac{3}{2}x^{2}=0 \] \[ x^{2}=32 \] \[ x=4\sqrt{2} \] \[ y=\frac{192-(4\sqrt{2})^{2}}{4(4\sqrt{2})}=\frac{160}{16\sqrt{2}}=5\sqrt{2} \] \[ V(max)=(4\sqrt{2})^{2}\times 5\sqrt{2} \] \[ V(max)=160\sqrt{2} cm^{3} \]