Kalkulus – Penerapan Integral Tak Tentu

📋 Daftar Isi

Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bawah ini :

Untuk menentukan suatu fungsi turunan jika fungsinya diberikan
Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan antara s,v, dan a adalah sebagai berikut.

\[ v=\frac{ds}{dt} \] \[ s=\int v dt \]

\[ a=\frac{dv}{dt} \] \[ v=\int a dt \]

Contoh Soal

Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini

Diketahui \( f'(x) = 6x^2 – 10x + 3 \) dan \( f(-1) = 2 \) . Tentukan \( f(x) \) !

Jawab :

\[\begin{aligned} f'(x) &=6x^{2}-10x+3\\ f(x) &=\int (6x^{2}-10x+3)dx\\ &=2x^{3}-5x^{2}+3x+c\\ f(-1) &=2\\ 2 &=2(-1)^{3}-5(-1)^{2}+3(-1)+c\\ 2 &=-2-5-3+c\\ c &=12 \end{aligned}\]

Jadi, \(f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x+12\)

2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan \(a=2𝑡−1\), 𝑎 dalam \(𝑚/𝑠^{2}\) dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda 𝑣=5 𝑚/𝑠 dan posisi benda saat \(t=6\) adalah \(𝑠=92 𝑚\), maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik!

Jawab :

\[ a=2t-1 \] \[ v=\int a dt \] \[ v=\int (2t-1)dt=t^{2}-t+c \]

Kecepatan awal benda \(5 m/s\), artinya saat \(t=0\) nilai \(v=5\)

\[\begin{aligned} v_{t=0} &=5\\ 0^{2}-0+c &=5\\ c &=5 \end{aligned}\]

Seingga

\[\begin{aligned} v &=t^{2}-t+5\\ s &=\int vdt\\ &=\int(t^{2}-t+5)dt\\ &=\frac{1}{3}t^{3}-\frac{1}{2}t^{2}+5t+d \end{aligned}\]

Untuk \(s_{t=6} =92\)

\[\begin{aligned} \frac{1}{3}(6)^{3}-\frac{1}{2}(6)^{2}+5(6)+d &=92\\ 72-18+30+d &=92\\ 84+d &=92\\ d &=8 \end{aligned}\]

Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan :

\[ s=\frac{1}{3}t^{3}-\frac{1}{2}t^{2}+5t+8 \]