Kalkulus – Teknik Pengintegralan Substitusi

📋 Daftar Isi

Bentuk Substitusi Umum

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus \(\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c\). Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.

\[ \int \left [ f(u)\frac{du}{dx} \right ] dx=\int f(u) du \]

Contoh Soal Integral Substitusi Umum

\[ \int (5x – 2)^3 dx \]

Jawab :

Misal \(u=5x-2\) sehingga \(du=5dx\) dan \(dx=\frac{1}{5}du\) , jadi

\[\begin{aligned} \int (5x-2)^{3}dx &=\int u^{3}\frac{1}{5}du\\ &=\frac{1}{5} \int u^{3}du\\ &=\frac{1}{5} \left( \frac{1}{4}u^{4} \right ) +c\\ &=\frac{1}{20}(5x-2)^{4}+c \end{aligned}\]

Integral yang Memuat Bentuk \( \sqrt{a^2 – x^2} \), \( \sqrt{a^2 + x^2} \), dan \( \sqrt{x^2 – a^2} \)

Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\), \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\) dan \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\), kita menggunakan teknik integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan dengan baik tabel berikut.

.tg-wrap{padding-bottom: 20px;} .tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;} .tg td{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-c3ow{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-7btt{border-color:inherit;font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-ihkz{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top} .tg-ihkz .mjx-chtml {text-align: center !important}

Bentuk	Substitusi	Hasil
\[\sqrt{a^{2}-x^{2}}\]	\[x=a \sin \theta\]	\[\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a \cos \theta\]
\[\sqrt{a^{2}+x^{2}}\]	\[x=a \tan \theta\]	\[\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a \sec \theta\]
\[\sqrt{x^{2}-a^{2}}\]	\[x=a \sec \theta\]	\[\sqrt{x^{2}-a^{2}}= a \tan \theta\]

Contoh Soal Integral Substitusi Trigonometri

Hitunglah \(\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}dx \)

Jawab :

Misal \(x=2 \sin \theta\) , maka \(\sin \theta = \frac{x}{2}\) , sehingga \(dx = 2 \cos \theta d\theta\). Untuk batas-batasnya berubah dari \(0\) menjadi \(0\) dan dari \(2\) menjadi \(\frac{\pi}{2}\) . Diperoleh bentuk seperti berikut

\[\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}dx &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \cos \theta d\theta}{\sqrt{4-4\sin^{2} \theta}}dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\\cos \theta}{2\cos \theta}d\theta\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\\ &=\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}\]