Diberikan \(f(x)=ax+b\) dan \(F(x)\) adadlah anti turunan \(f(x)\). Jika \(F(1)-F(0)=3\) maka \(2a+b\) adalah … Jawab :
\[
F9x)=\int f(x0dx
\]
\[
F(x)=\int (a+bx)dx
\]
\[
F(x)=ax+\frac{1}{2}bx^{2}+c
\]
\[
F(1)=a(1)+\frac{1}{2}b(1)^{2}+c
\]
\[
F(1=a+\frac{1}{2}b+c
\]
\[
F(0)=a(0)+\frac{1}{2}b(0)^{2}+c
\]
\[
F(0)=c
\]
\[\begin{aligned}
F(1)-F(0) &=a+\frac{1}{2} b+c-c\\
3 &=a+\frac{1}{2} b\\
6 &= 2a+b
\end{aligned}\]
2. Hitunglah \(\int \left ( \frac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2}dx\)
\[
\int \left ( \frac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2}dx
\]
\[
=\int \left ( \frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)} \right )^{2}dx
\]
\[
=\int \left ( \frac{(x^{2}-1)}{x} \right )^{2}dx
\]
\[
=\int \left ( \frac{x^{2}}{x}-\frac{1}{x} \right )^{2}dx
\]
\[
=\int \left ( x-x^{-1} \right )^{2}dx
\]
\[
=\int \left (x^{2}-2+x^{-2} \right )dx
\]
\[
=\frac{1}{3}x^{3}-2x-\frac{1}{x}+C
\]
3. Misalkan fungsi \(f\) menenuhi \(f(x+5)=f(x)\) untuk setiap \(x \in R\). Jika \(\int_{1}^{5}f(x)dx=3\) dan \(\int_{-5}^{-4}f(x)dx=-2\) maka nilai \(\int_{5}^{15}f(x) dx\)=…
Jawab :
Karena \(f(x+5) =f(x)\) maka \(f(x)\) periodik dengan periode 5, sehingga berlaku
\[
\int_{1}^{5}f(x)dx=\int_{6}^{10}f(x)dx=\int_{11}^{15}f(x)dx=3
\]
\[
\int_{-5}^{-4}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x) dx=\int_{5}^{6}f(x)dx=\int_{10}^{11}f(x)dx=-2
\]
Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka berlaku
\[\begin{aligned}
\int_{5}^{11}f(x)dx &=\int_{5}^{6}f(x)dx+\int_{6}^{10}f(x)dx+\int_{10}^{11}f(x)dx+\int_{11}^{15}f(x)dx\\
&=-2+3+(-2)+3\\
&=2
\end{aligned}\]
4. Jika \(\int_{a}^{b}f'(x) f(x) dx=10\) dan \(f(a)=2+f(b)\) , nilai \(f(b)\) = …
Jawab :
ntuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan \(u=f(x)\), sehingga beberapa persamaan yang kita peroleh, yaitu:
\[
u=f(x)
\]
\[
\frac{du}{dx}=f'(x)
\]
\[
du=f'(x)dx
\]
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
\[\begin{aligned}
\int_{a}^{b}f(x)f'(x)dx &=10\\
\int_{a}^{b}udu &10\\
\left [ \frac{1}{2}u^{2}\right ]_{a}^{b} &=10\\
\left [ \frac{1}{2}(f(x))^{2}\right ]_{a}^{b} &=10\\
\left [ \frac{1}{2}(f(b))^{2} \right ] – \left [ \frac{1}{2}(f(a))^{2} \right ]&=10\\
(f(b))^{2}-(f(a))^{2} &=20\\
(f(b)-f(a))(f(b)+f(a))&=20\\
(f(b)-2-f(b))(f(b)+2+f(b)) &=20\\
(-2)(2f(b)+2) &=20\\
2f(b)+2 &==10\\
2f(b) &=-12\\
f(b) &=-6
\end{aligned}\]
5. Hasil dari \(\int \left ( 3x^{2}-5x+4 \right ) dx\) = …
Jawab :
\[
\int \left ( 3x^{2}-5x+4 \right ) dx
\]
\[
=x^{3}-\frac{5}{2}+4x+C
\]
Materi Lengkap
Berikut adalah materi lainnya yang membahas mengenai Integral.
Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini
