Kalkulus – Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

📋 Daftar Isi

Misalkan \(S\) adalah daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=f(x)\), sumbu \(X\), garis \(x=a\) dan garis \(x=b\). Dengan \(f(x)≥0\) pada \((a,b)\) maka luas daerah \(S\) dapat di tentukan dengan rumus

\[ S=\int_{a}^{b}f(x)dx \]

Berikut ini apabila digambar dalam bidang katesius

Apabila \(f(x) ≤0\) atau daerahnya di bawah sumbu \(X\), maka rumusnya menjadi

\[ S=-\int_{a}^{b}f(x)dx \]

Contoh Soal

Gambar berikut menunjukkan bagian kurva \(y=x^{2}\) dan sebuah persegi panjang dengan dua titik sudutnya pada \( (0,0) \) dan \( (c,0) \)

Nilai perbandingan antara luas persegi panjang terhadap luas bagian yang di arsir adalah …

Jawab :

Perhatikan bahwa koordinat titik potong parabola \(y=x^{2}\) dan garis tegak \(x=c\) adalah \( (c,c2) \).
Ini artinya, garis datar yang membatasi daerah arsir di bagian atas adalah \(y=c^{2}\).
Dengan menggunakan integral pada batas bawah \(x=0\) dan batas atas \(x=c\), luas daerah arsiran tersebut adalah

\[\begin{aligned} L_{arsir} &=\int_{0}^{c}(c^{2}-x^{2})dx\\ &=\left [ c^{2}x-\frac{1}{3}x^{3} \right ]_{0}^{c}\\ &=\left ( c^{2}(c)-\frac{1}{3}(c)^{3} \right ) – (0-0)\\ &=c^{3}-\frac{1}{3}c^{3}\\ &=\frac{2}{3}c^{3} \end{aligned}\]

Persegi panjang tersebut memiliki panjang \(c\) dan lebar \(c^{2}\) sehingga luasnya adalah

\[ L_{pp}=p ⋅l=c ⋅c^{2}=c^{3} \]

Dengan demikian, perbandingan luas persegi panjang terhadap luas bagian yang diarsir adalah

\[ L_{pp}:L_{Arsir}=c^{3}: \frac{2}{3}c^{3}=3:2 \]