Matematika Diskrit : Dasar-Dasar Teori Himpunan

📋 Daftar Isi

Pengertian

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Semua mahasiswa Tingkat II Komputasi Statistik adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa di mana tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh :

Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2, 4, 6, 8, 10}.
C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
C = { a, {a}, {{a}} }
K = { {} }
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, …, 100 }
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan
x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A
x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A

2. Simbol – Simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, … }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, … }
Z = himpunan bilangan bulat = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh :

A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5. A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x | x ∈ P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika diskrit}

4. Diagram Venn

Misalkan U= {1, 2, …, 7, 8} A= {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau |A|
Contoh :

B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 } atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka |B| = 8
T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka |T| = 5
A = { a, {a}, {{a}} }, maka |A| = 3

Himpunan Kosong (Null Set)

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : ∅ atau { }. Himpunan { { } } dapat juga ditulis sebagai {∅}. Himpunan { { }, {{ }} } dapat juga ditulis sebagai {∅, {∅}}. {∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Contoh :

E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
A = { x |x adalah akar persamaan kuadrat x ² + 1 = 0 }, n(A) = 0

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A ⊆ B

Diagram Venn:

Contoh :

{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}
{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}
N ⊆ Z ⊆ R ⊆ C

Teorema 1.

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (∅ ⊆ A).
(c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Misalnya A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan ∅ adalah improper subset dari A.

A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B

A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
A ⊆ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B

Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan
elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh :

Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ≠ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

A = A, B = B, dan C = C
jika A = B, maka B = A
jika A = B dan B = C, maka A = C

Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi :
A ~ B ↔ |A| = |B|

Contoh :
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab |A| = |B| = 4

Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi :
A // B

Diagram Venn:

Contoh :
Jika A = { x | x ∈ P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, … }, maka A // B.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi : P(A)
Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2^m

Contoh :
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 } }