Hukum-Hukum Himpunan Disebut juga sifat-sifat (properties ) himpunan atau dikenal juga sebagai hukum aljabar himpunan.
Hukum Identitas \[
A \cup \varnothing = A
\]
\[
A\cap U=A
\]
Hukum Dominasi (Null ) \[ A\cup \varnothing =\varnothing \]
\[ A\cup U = U \]
Hukum Komplemen \[ A\cup \bar{A} = U \]
\[ A\cap \bar{A} = \varnothing \]
Hukum Idempoten \[ A \cup A = A \] \[A \cap A= A \]
Hukum Involusi \[
\overline { \bar{A} } = A
\]
Hukum Penyerapan (Absorpsi ) \[ A \cup (A \cap B) = A \]
\[ A \cap (A \cup B) = A \]
Hukum Komutatif \[ A\cup B=B\cup A \]
\[A\cap B=B\cap A \]
Hukum Asosiatif \[ A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C \]
\[ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C \]
Hukum Distributif \[ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \]
\[ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \]
Hukum De Morgan \[ \overline{ A \cap B } = \bar{A} \cup \bar{B} \]
\[ \overline{ A \cup B } = \bar{A} \cap \bar{B}
\]
Hukum 0/1 \[
\bar{\varnothing} = U
\]
\[
\bar{U} = \varnothing
\]
Prinsip Dualitas Prinsip dualitas merupakan dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪,∩, dan komplemen . Jika S * S
\[ \cup\rightarrow \cap \]
\[ \cap\rightarrow \cup \]
\[\varnothing \rightarrow U\]
\[U \rightarrow \varnothing\]
Sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S * S
contoh:
\[ Dual \space dari (A\cap B) \cup (A\cap \bar{B})=A \space adalah (A\cup B)\cap(A\cup \bar{B}=A\]
Hukum Identitas \[ A\cup \varnothing =A \]
\[Dualnya \rightarrow A\cap U=A \]
Hukum Dominasi (Null ) \[A\cup \varnothing =\varnothing \]
\[Dualnya \rightarrow A\cup U=U\]
Hukum Komplemen \[A\cup\bar{A}=U \]
\[Dualnya \rightarrow A\cap \bar{A}=\varnothing \]
Hukum Idempoten \[ A\cup A=A \]
\[Dualnya \rightarrow A\cap A=A\]
Hukum Penyerapan (Absorpsi ) \[A\cup (A\cap B)=A \]
\[Dualnya \rightarrow A \cap (A\cup B)=A\]
Hukum Komutatif \[A\cup B=B\cup A\]
\[Dualnya \rightarrow A\cap B=B\cap A\]
Hukum Asosiatif \[A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\]
\[Dualnya \rightarrow A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\]
Hukum Distributif \[A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\]
\[Dualnya \rightarrow A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cap (A\cap C)\]
Hukum De Morgan \[ \overline{ A \cup B } = \bar{A} \cap \bar{B}\]
\[Dualnya \rightarrow \overline{ A \cap B } = \bar{A} \cup \bar{B} \]
Hukum 0/1 \[\bar{\varnothing} = U \]
\[Dualnya \rightarrow
\bar{U} = \varnothing
\]
Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B
\[\left|A\cup B\right|= \left|A\right| \dotplus \left|B\right|-\left|A\cap B\right|\]
\[\left|A\oplus B\right|= \left|A\right| \dotplus \left|B\right|-2\left|A\cap B\right|\]
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
\[ \left|A\cup B\cup C\right|= \left|A\right| \dotplus \left|B\right|\dotplus \left|C\right|-\left|A\cap B\right|-\left|A\cap C\right|-\left|B\cap C\right|+ \left|A\cap B\cap C\right|\]
Untuk himpunan A₁, A₂…. Ar, berlaku
\[
\left|A_{1}\cup A_{2}\cup …\cup A_{r} \right|=
\]
\[
\sum_{i} \left|A_{i} \right|-\sum_{1\leq i\leq j\leq r}\left|A_{i}\cap A_{j} \right|+\sum_{1\leq i\leq j\leq k\leq r}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k} \right|+…+(-1)^{r-1}\left|A_{1}\cap A_{2}\cap …\cap A_{r} \right|
\]
Partisi Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A 1 , A 2 , … dari A sedemikian sehingga:
A₁ ∪ A₂ ∪ …. = A , danAi ∩ Aj = ∅ untuk i ≠ j Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A .
Materi Lengkap Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Himpunan, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.
Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini
