๐ Daftar Isi
Relasi Inversi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan Rโ1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh
Rโ1 = {(b, a) | (a, b) โ R }
Contoh
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) โ R jika p habis membagi q
maka kita peroleh
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}
Rโ1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p) โ Rโ1 jika q adalah kelipatan dari p
maka kita peroleh
Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,
maka matriks yang merepresentasikan relasi Rโ1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,
Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka
R1 โฉ R2, R1 โช R2, R1 โ R2, dan R1 โจ R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Contoh 1
A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}
Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}
Sehingga,
R1 โฉ R2 = {(a, a)}
R1 โช R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
R1 โ R2 = {(b, b), (c, c)}
R2 โ R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}
R1 โจ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah
MR1 โช R2 = MR1 โ MR2 dan MR1 โฉ R2 = MR1 โ MR2
Contoh 2
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
Sehingga
Komposisi Relasi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S ฮฟ R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
S ฮฟ R = { (a, c) | a โ A, c โ C, dan untuk beberapa b โ B, (a, b) โ R dan (b, c) โ S }
Contoh 1
R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8}
S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.
Maka komposisi relasi R dan S adalah ,
S ฮฟ R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}
Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah :

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah MR1 ฮฟ R2 = MR1 . MR2 yang dalam hal ini operator โ.โ sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan โโโ dan tanda tambah dengan โโโ
Contoh 2
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
Maka matriks yang menyatakan R2 ฮฟ R1 adalah
Materi Lengkap
Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Relasi, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.