Matematika Diskrit : Operasi-Operasi Relasi

Relasi Inversi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

R^–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }

Contoh

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}

R^–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p) ∈ R^–1 jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

Jika R₁ dan R₂ masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka

R₁ ∩ R₂, R₁ ∪ R₂, R₁ – R₂, dan R₁ ⨁ R₂ juga adalah relasi dari A ke B.

Contoh 1

A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}

Relasi R₁ = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

Sehingga,

R₁ ∩ R₂ = {(a, a)}

R₁ ∪ R₂ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

R₁ – R₂ = {(b, b), (c, c)}

R₂ − R₁ = {(a, b), (a, c), (a, d)}

R₁ ⨁ R₂ = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)

Jika relasi R₁ dan R₂ masing-masing dinyatakan dengan matriks M_R1 dan M_R2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

M_{R1 ∪ R2} = M_R1 ⋁ M_R2 dan M_{R1 ∩ R2} = M_R1 ⋀ M_R2

Contoh 2

Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

Sehingga

Komposisi Relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S ο R = { (a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapa b ∈ B, (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }

Contoh 1

R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8}

S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.

Maka komposisi relasi R dan S adalah ,

S ο R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah :

Jika relasi R₁ dan R₂ masing-masing dinyatakan dengan matriks M_R1 dan M_R2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah M_{R1 ο R2} = M_R1 . M_R2 yang dalam hal ini operator “.” sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “⋀” dan tanda tambah dengan “⋁”

Contoh 2

Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

Maka matriks yang menyatakan R₂ ο R₁ adalah

Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Relasi, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.

Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini