Matematika Diskrit : Definisi dan Representasi Fungsi

Definisi Fungsi

Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A → B yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi adalah relasi yang khusus :

1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.
2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b) ∈ f dan (a, c) ∈ f, maka b = c

Kumpulan Contoh

Contoh 1

Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B.

Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B

Contoh 2

Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.

Contoh 3

Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B.

Contoh 4

Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v.

Contoh 5

Misalkan f : Z → Z didefinisikan oleh f(x) = x². Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif.

Representasi Fungsi

Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, di antaranya:

1. Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.

2. Formula pengisian nilai (assignment).

Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x² , dan f(x) = 1/x.

3. Kata-kata

Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.

4. Kode program (source code)

Contoh: Fungsi menghitung |x|

function abs (x : integer) : integer; 
begin
if x < 0 then abs := -x 
else abs := x;
end;

Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Matematika Diskrit – Fungsi, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.

Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini