Matematika Diskrit : Beberapa Fungsi Khusus

📋 Daftar Isi

Fungsi Floor dan Ceiling

Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.

Fungsi floor dari x:

⌊x⌋ menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Fungsi ceiling dari x:

⌈x⌉ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.

Berikut contohnya:

Fungsi Floor

⌊3.5⌋ = 3
⌊0.5⌋ = 0
⌊4.8⌋ = 4
⌊-0.5⌋ = -1
⌊-3.5⌋ = -4

Fungsi Ceiling

⌊3.5⌋ = 4
⌊0.5⌋ = 1
⌊4.8⌋ = 5
⌊-0.5⌋ = 0
⌊-3.5⌋ = -3

Fungsi Modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m

Contoh:

25 mod 7 = 4
15 mod 4 = 3
3612 mod 45 = 12
0 mod 5 = 5
–25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7 • (–4) + 3 )

Fungsi Faktorial

\[ n! = \begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space ,n=0 \\ 1\times 2\times \cdots \times (n-1) \times n \space , n> 0 \end{cases} \]

Fungsi Eksponensial

\[ a^{n}=\begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n=0 \\ \underbrace{a\times a\times \cdots \times a }_n \space \space , n> 0 \end{cases} \]

Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritmik berbentuk

\[ y = ^{a}log x \leftrightarrow x = a^{y} \]

Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

Contoh 1: n! = 1 × 2 × … × (n – 1) × n = (n – 1)! × n

\[ n!=\begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space ,n=0 \\ n\times (n-1)! \space \space , n > 0 \\ \end{cases} \]

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:

Basis, bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.
Rekurens, bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Contoh 2: definisi rekursif dari faktorial:

basis: n! = 1 , jika n = 0
rekurens: n! = n × (n -1)! , jika n > 0

Contoh 3: 5! dihitung dengan langkah berikut:

(1) 5! = 5 × 4! (rekurens)

(2) 4! = 4 × 3!

(3) 3! = 3 × 2!

(4) 2! = 2 × 1!

(5) 1! = 1 × 0!

(6) 0! = 1

(6’) 0! = 1

(5’) 1! = 1 × 0! = 1 × 1 = 1

(4’) 2! = 2 × 1! = 2 × 1 = 2

(3’) 3! = 3 × 2! = 3 × 2 = 6

(2’) 4! = 4 × 3! = 4 × 6 = 24

(1’) 5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120

Sehingga diperoleh 5! = 120

Contoh fungsi rekursif lainnya:

Fungsi Chebysev

\[ T(n,x) =\begin{cases} 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n = 0 \\ x \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n=1 \\ 2xT(n-1,x)- T(n-2,x) \space \space \space \space , n > 1 \\ \end{cases} \]

Fungsi Fibonacci

\[ f(n)=\begin{cases} 0 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n = 0\\ 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , n = 1\\ f(n-1) + f(n-2) \space \space , n>1 \\ \end{cases} \]