Matematika Diskrit : Inferensi Logika

📋 Daftar Isi

Argumentasi

Suatu argumentasi dalam logika proposisi adalah suatu barisan pernyataan p₁, p₂, … , p_n yang diakhiri dengan sebuah pernyataan q.

Pernyataan-pernyataan p₁, p₂, … , p_n disebut premis atau hipotesa sedangkan q disebut kesimpulan atau konklusi.

Suatu argumentasi dikatakan absah (valid) atau berlaku, jika semua hipotesanya (premisnya) p₁, p₂, … , p_n bernilai benar mengakibatkan konklusi q juga bernilai benar.

Dengan perkataan lain, suatu argumentasi p₁, p₂, … , p_n, q adalah valid apabila ( p₁ ∧ p₂ ∧ … ∧ p_n) → q. adalah sebuah tautologi.

Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi disebut inferensi (inference).

Rule of Inference

Addition / Disjunction Introduction

Kalimat Tautologi : p → ( p ∨ q )

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{ \space \space \space \space p \space \space \space \space \space \space } }{\mathrm{\therefore p \vee q}} \]

Contoh :

Hari ini hujan.

Maka dapat disimpulkan bahwa, Hari ini hujan atau kita pergi ke pameran.

Simplification atau Conjunction Elimination

Kalimat Tautologi : ( p ∧ q )→ p

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{\space p \wedge q } }{\mathrm{\therefore p }} \] \[ atau \] \[ \frac{\mathrm{\space p \wedge q} }{\mathrm{\therefore q}} \]

Contoh :

Hari ini hujan dan kita pergi ke pameran → Maka dapat disimpulkan bahwa Hari ini hujan.
Hari ini hujan dan kita pergi ke pameran → Maka dapat disimpulkan bahwa Kita pergi ke pameran.

Conjunction Introduction

Kalimat Tautologi : ( (p) ∧ (q) ) → ( p ∧ q )

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{ \space \space \space \space p \\ \space \space \space \space q} }{\mathrm{\therefore p \wedge q}} \]

Contoh :

Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit.

Taslim mengulang kuliah Algoritma.

Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma.

Modus Ponens

Kalimat Tautologi : (p ∧ ( p → q )) → q

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{ \space \space \space \space \space p \rightarrow q \\ \space \space \space \space \space p} }{\mathrm{\therefore q}} \]

Contoh :

Jika, 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap.

20 habis dibagi 2.

Karena itu, 20 adalah bilangan genap

Modus Tollens

Kalimat Tautologi : ¬q ∧ (p → q)) → ¬p

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{ \space \space \space \space \space p \rightarrow q \\ \space \space \space \space \space ¬q } }{\mathrm{\therefore ¬ p}} \]

Contoh :

Jika n habis dibagi oleh 3, maka n² habis dibagi oleh 9.

n² tidak habis dibagi oleh 9.

Maka dapat disimpulkan bahwa n tidak habis dibagi oleh 3.

Hypothetical Syllogism

Kalimat Tautologi : ((p→q) ∧ (q→r))→(p→r)

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{ \space \space \space \space \space p \rightarrow q \\ \space \space \space \space \space q \rightarrow r } }{\mathrm{\therefore \space p \rightarrow r}} \]

Contoh :

Jika si A adalah mahasiswa UI angkatan 2007 , maka si A mengikuti SPMB 2007.

Jika si A mengikuti SPMB 2007, maka si A bisa berbahasa Inggris.

Maka dapat disimpulkan bahwa, Jika si A adalah mahasiswa UI angkatan 2007, maka si A bisa berbahasa Inggris.

Disjunctive Syllogism

Kalimat Tautologi : (( p ∨ q ) ∧ ¬p ) → q

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{ \space \space \space \space \space p \vee q \\ \space \space \space \space \space ¬p} }{\mathrm{\therefore q}} \]

Contoh :

Hari ini hujan atau hari ini lalu lintas macet.

Hari ini tidak hujan.

Maka dapat disimpulkan bahwa, Hari ini lalu lintas macet.

Catatan: Meskipun ( p₁ ∧ p₂ ∧ … ∧ p_n) → q valid, tidak selalu q bernilai true.

Dilema

Kalimat Tautologi : ((p ∨ q) ∧ (p→r) ∧ (q→r))→r

Bentuk :

\[ \frac{\mathrm{ \space \space \space \space \space p \vee q \\ \space \space \space \space \space p \rightarrow r \\ \space \space \space \space \space q \rightarrow r } } {\mathrm{\therefore r}} \]

Contoh :

Nanti malam Adi mengajak saya nonton atau mengajak saya makan di restoran.

Jika Adi mengajak saya nonton, maka saya akan senang.

Jika Adi mengajak saya makan di restoran, maka saya akan senang.

Maka dapat disimpulkan bahwa, nanti malam saya akan senang.