Bentuk Kanonik
Ada dua macam bentuk kanonik
- Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
- Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh:
1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz → SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) → POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
.tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;} .tg td{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-4erg{border-color:inherit;font-style:italic;font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-0pky{width:10%;border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-fymr{width:15%;border-color:inherit;font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-f8tv{border-color:inherit;font-style:italic;text-align:center;vertical-align:top}| x | y | Minterm | Maxterm | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Suku | Lambang | Suku | Lambang | ||
| 0 | 0 | x’y’ | m0 | x + y | M0 |
| 0 | 1 | x’y | m1 | x + y’ | M1 |
| 1 | 0 | xy’ | m2 | x’ + y | M2 |
| 1 | 1 | xy | m3 | x’ + y’ | M3 |
| x | y | z | Minterm | Maxterm | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Suku | Lambang | Suku | Lambang | |||
| 0 | 0 | 0 | x’y’z’ | m0 | x + y + z | M0 |
| 0 | 0 | 1 | x’y’z | m1 | x + y + z’ | M1 |
| 0 | 1 | 0 | x’yz’ | m2 | x + y’ + z | M2 |
| 0 | 1 | 1 | x’yz | m3 | x + y’ + z’ | M3 |
| 1 | 0 | 0 | xy’z’ | m4 | x’ + y + z | M4 |
| 1 | 0 | 1 | xy’z | m5 | x’ + y + z’ | M5 |
| 1 | 1 | 0 | xyz’ | m6 | x’ + y’ + z | M6 |
| 1 | 1 | 1 | xyz | m7 | x’ + y’ + z’ | M7 |
Contoh 1
Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
.tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;} .tg td{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-c3ow{width:25%;border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-ihkz{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top}| x | y | z | f(x,y,z) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Penyelesaian
(i) Sum of Product (SOP)
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm) : f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = ∑ (1, 4, 7)
(ii) Product of Sum (POS)
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’) (x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)
atau dalam bentuk lain
f(x, y, z)) = M0 M2 M3 M5 M6 = ∏(0, 2, 3, 5, 6)
Contoh 2
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian
(i) Sum of Product (SOP)
- x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
- y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
- Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = ∑(1,4,5,6,7)
Product of Sum (POS)
- f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
- x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
- x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
- Jadi f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
atau f(x, y, z) = M0 M2 M3 = ∏(0, 2, 3)
Konversi Antar Bentuk Kanonik
Misalkan f(x, y, z) = ∑ (1, 4, 5, 6, 7)
dan f ’adalah fungsi komplemen dari f : f ’(x, y, z) = ∑ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:
f’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0+ m2 + m3)’
= m0‘ · m2‘ · m3‘
= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= ∏ (0,2,3)
Jadi f(x, y, z) = ∑ (1, 4, 5, 6, 7) = ∏ (0,2,3).
Kesimpulan: mj’ = Mj
Contoh 1
Nyatakan f(x, y, z)= ∏ (0, 2, 4, 5) dalam bentuk SOP dan g(w, x, y, z) = ∑ (1, 2, 5, 6, 10, 15) dalam bentuk POS.
Penyelesaian
f(x, y, z)= ∑ (1, 3, 6, 7)
g(w, x, y, z)= ∏ (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)
Contoh 2
Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
Penyelesaian
(i) Sum of Product (SOP)
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
= y’ (x + x’) (z + z’) + xy (z + z’) + x’yz’
= (xy’ + x’y’) (z + z’) + xyz + xyz’ + x’yz’
= xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’
atau f(x, y, z) = m0+ m1 + m2+ m4+ m5+ m6+ m7
(ii) Product of Sum (POS)
f(x, y, z) = M3 = x + y’ + z’
Bentuk Baku
Tidak harus mengandung literal yang lengkap.
Contoh
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP)
f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)
Materi Lengkap
Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Aljabar Boolean, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.
