Matematika Diskrit : Bentuk Umum Permutasi dan Kombinasi

📋 Daftar Isi

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

Misalkan: ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama – indistinguishable).

n₁ bola diantaranya berwarna 1,

n₂ bola diantaranya berwarna 2,

n_k bola diantaranya berwarna k,

dan n₁ + n₂ + … + n_k = n.

Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak berisi satu buah bola)

Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah:

\[ P(n,n) \space = \space n! \]

Dari pengaturan n buah bola itu,

ada n₁! cara memasukkan bola berwarna 1

ada n₂! cara memasukkan bola berwarna 2

…

ada n_k! cara memasukkan bola berwarna k

Permutasi n buah bola yang mana n₁ diantaranya berwarna 1, n₂ bola berwarna 2, …, n_k bola berwarna k adalah :

\[ P(n ; n_{1} , n_{2} ,…, n_{k} ) \space = \space C(n ; n_{1} , n_{2} ,…, n_{k} ) \space = \space \frac{P(n,n)}{ {n_{1}!} {n_{2}!} … {n_{k}!} } \space = \space \frac{n!}{{n_{1}!} {n_{2}!} … {n_{k}!} } \]

Jika n₁ = n₂ = … = n_k = 1, maka, bentuk rumus di atas menjadi permutasi n elemen yang berbeda, yaitu

\[ P(n;1,1,…,1) \space = \space C(n;1,1,…,1) \space = \space \frac{n!}{1!1!…1!} \space = \space n! \]

Contoh

12 buah lampu berwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru) dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris (sisanya 6 buah soket dibiarkan kosong). Berapa jumlah cara pengaturan lampu?

Penyelesaian:

n = 18; n₁ = 4, n₂ = 3, n₃ = 5, dan n₄= 6 (socket kosong)

Jumlah cara pengaturan lampu =

\[ \frac{18!}{(4!)(3!)(5!)(6!)} \space cara\]