Matematika Diskrit : Pigeonhole Principle

📋 Daftar Isi

Prinsip Sarang Merpati

Jika n + 1 atau lebih objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek.

Bukti:

Misalkan tidak ada kotak yang berisi dua atau lebih objek. Maka, total jumlah objek paling banyak adalah n. Ini kontradiksi, karena jumlah objek paling sedikit n + 1.

Prinsip sarang merpati, jika diterapkan dengan baik, akan memberikan hanya objek-objek yang ada dan bukan memberitahukan bagaimana mencari objek tersebut dan berapa banyak.

Pada masalah sarang burung merpati, prinsip ini tidak memberitahukan di sarang merpati mana yang berisi lebih dari satu ekor merpati.

Contoh 1

Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak (tanpa melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil?

Penyelesaian:

Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu, jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola (merpati), maka dapat dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain. Jadi, 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama.

Contoh 2

Tinjau kembali Contoh 1. Berapa paling sedikit jumlah bola yang harus diambil dari dalam kotak sehingga 3 pasang bola yang setiap pasangnya berwarna sama terambil?

Penyelesaian:

Tiga pasang bola yang setiap pasang berwarna sama berarti semuanya 6 buah bola. Pada masalah ini, n masih tetap sama dengan 3 (yaitu jumlah warna), dan kita perlu mengambil paling sedikit M buah bola untuk memastikan bahwa [M/3] = 6 bola mengandung setiap pasang bola yang berwarna sama.

Nilai M = 3 · 5 + 1 = 16. Jika kita hanya mengambil 15 bola, maka mungkin saja hanya terambil 2 macam bola yang berwarna sama.

Jadi, jumlah 16 buah bola adalah jumlah minimal yang perlu kita ambil dari dalam kotak untuk memastikan bahwa 3 pasang bola yang setiap pasang berwarna sama terambil.