Matematika Diskrit : Bilangan Prima

Bilangan Prima

Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p. Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.

Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….

Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.

Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Contoh: 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

---

Teorema 1. (The Fundamental Theorem of Arithmetic)

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Contoh:

9 = 3 × 3

100 = 2 × 2 × 5 × 5

13 = 13 (atau 1 × 13)

Contoh

Tes apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit.

Penyelesaian:

(i) √171 = 13.077

Bilangan prima yang ≤ √171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit.

(ii) √199 = 14.107

Bilangan prima yang ≤ √199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima.

---

Teorema 2. (Teorema Fermat)

Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka:

Menurut teorema Fermat di atas, jika p adalah bilangan prima, maka a^p–1 ≡ 1 (mod p)

Tetapi, jika p bukan bilangan prima, maka a^p–1 ≢ 1 (mod p).

---

Kelemahan Teorema Fermat terdapat bilangan komposit n sedemikian sehingga 2^n–1 ≡ 1 (mod n). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan prima semu (pseudoprimes).

Contoh: 341 adalah komposit (karena 341 = 11 · 31) sekaligus bilangan prima semu, karena menurut teorema Fermat, 2³⁴⁰ ≡ 1 (mod 341)

Untunglah bilangan prima semu relatif jarang terdapat.

Untuk bilangan bulat yang lebih kecil dari 10¹⁰ terdapat 455.052.512 bilangan prima, tapi hanya 14.884 buah yang merupakan bilangan prima semu terhadap basis 2.

Contoh 1

Tes apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan dengan Teorema Fermat.

Penyelesaian:

Ambil a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1

(i) 2^17–1 = 65536 ≡ 1 (mod 17)

karena 17 habis membagi 65536 – 1 = 65535

Jadi, 17 bulangan prima.

(ii) 2^21–1 =1048576 ≡ 1 (mod 21)

karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575.

Jadi, 21 bukan bilangan prima.

Contoh 2

Hitunglah sisa pembagian 2²⁰²⁰ dibagi dengan 73

Penyelesaian:

Dengan menggunakan teorema Fermat kita dapat mengetahui bahwa 2^{73 – 1} = 2⁷² ≡ 1 (mod 73).

2²⁰²⁰ ≡ (2^{72 · 28 + 4}) (mod 73)
≡ (2⁷²)²⁸ . 2⁴(mod 73)

≡ (1)²⁸ . 2⁴ (mod 73)

≡ 2⁴ (mod 73)

≡ 16 (mod 73) = 16

Jadi sisa pembagiannya adalah 16.

---

Materi Lengkap

Silakan baca juga beberapa artikel menarik kami tentang Teori Bilangan, daftar lengkapnya adalah sebagai berikut.

---

Tonton juga video pilihan dari kami berikut ini