Metode Statistika II : Distribusi Sampling Rata-Rata

📋 Daftar Isi

Distribusi Sampling Rata-rata

Teorema

Bila semua kemungkinan sampel acak berukuran 𝑛 diambil dengan pemulihan/pengembalian dari suatu populasi terhingga berukuran 𝑁 yang mempunyai rata-rata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎, maka untuk 𝑛 yang cukup besar, distribusi sampling bagi rata-rata 𝑋-bar akan menghampiri distribusi normal dengan

\[ rata-rata \space \mu_{\overline{x}} = \mu \\ simpangan \space baku \space \sigma_{\overline{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt n} \]

Dengan demikian,

\[ Z = \frac{\overline{x} – \mu} {\sigma/ \sqrt n} \]

adalah peubah acak yang berdistribusi normal baku.

Teorema

Bila semua kemungkinan sampel acak berukuran 𝑛 diambil tanpa pemulihan/pengembalian dari suatu populasi terhingga berukuran 𝑁 yang mempunyai rata-rata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎, maka distribusi sampling bagi rata-rata sampel 𝑋-bar akan menghampiri distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku :

\[ \mu_{\overline{x}} = \mu \\ \sigma_{\overline{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt n} \sqrt{\frac {N-n} {N-1}} \]

\[ Faktor \space \sqrt{\frac {N-n} {N-1}} \space disebut \space sebagai \space faktor \space koreksi \space populasi \space terhingga \]

Jika ukuran populasinya relatif besar terhadap ukuran sampel maka nilai faktor koreksi akan mendekati 1 sehingga bisa diabaikan. Untuk populasi yang besar atau tak hingga, diskret ataupun kontinyu, berlaku teorema limit pusat (central limit theorem).

Teorema

Bila 𝑥-bar dan 𝑠² masing-masing adalah rata-rata dan varians suatu sampel acak berukuran 𝑛 yang diambil dari suatu populasi normal dengan rata-rata 𝜇 dan varians 𝜎² maka

\[ t = \frac{\overline{x} – \mu} {s/ \sqrt n} \]

merupakan sebuah nilai peubah acak yang berdistribusi Student-t dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛−1