Metode Statistika II : Central Limit Theorem

📋 Daftar Isi

Central Limit Theorem

Bila sampel acak berukuran 𝑛 (cukup besar) ditarik dari suatu populasi besar atau tak hingga dengan rata-rata 𝜇 dan varians 𝜎², maka rata-rata sampel 𝑿-bar akan menyebar menghampiri distribusi normal dengan

\[ rata-rata \space \mu_{\overline{x}} = \mu \\ simpangan \space baku \space \sigma_{\overline{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt n} \]

Dengan demikian,

\[ Z = \frac{\overline{x} – \mu} {\sigma/ \sqrt n} \]

adalah peubah acak yang berdistribusi normal baku.

Untuk keperluan praktis, ukuran sampel sebesar 30 bisa dikatakan cukup besar untuk menggunakan distribusi normal sebagai suatu pendekatan distribusi sampling dari 𝑋-bar.

Distribusi sampling dari rata-rata sampel acak yang diambil dari sembarang populasi adalah approximately normal untuk sufficiently large sample size. Semakin besar ukuran sampel, distribusi sampling dari 𝑋-bar akan semakin mendekati untuk menyerupai distribusi normal.

Jika populasi berdistribusi normal, maka 𝑋-bar berdistribusi normal untuk semua nilai n. Jika populasi tidak normal, maka 𝑋-bar mendekati normal hanya untuk jumlah n yang besar.

Latihan Soal

Anggap sebuah populasi punya rata-rata μ = 8 and simpangan baku σ= 3. Anggap sebuah sampel acak diambil dengan n = 36. Berapa peluang bahwa rata-rata sampel akan terletak antara 7.8 dan 8.2?

Penyelesaian:

Walaupun populasi tidak berdistribusi normal, central limit theorem dapat digunakan (𝒏 ≥ 𝟑𝟎) sehingga distribusi sampling untuk 𝑋-bar akan mendekati distribusi normal.

\[ rata-rata \space \mu_{\overline{x}} = 8 \\ simpangan \space baku \space \sigma_{\overline{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt n} = \frac {3}{\sqrt 36} = 0,5 \]

Peluang rata-rata sampel jika terletak antara 7,8 dan 8,2

\[ P(7,8<\overline{X}<8,2) = P \left ( \frac{7,8 – 8}{3/ \sqrt 36} < \frac{\overline{X} – \mu} {\sigma/ \sqrt n} < \frac{8,2 – 8}{3/ \sqrt 36} \right ) \\ = P(-0,4<Z<0,4) \\ = 0,3108 \]