Metode Statistika II : Distribusi Sampling Beda Rata-Rata

📋 Daftar Isi

Distribusi Sampling Beda Rata-rata

Jika sampel acak bebas diambil dari dua populasi yang masing-masing berdistribusi normal maka distribusi dari Xbar₁ − Xbar₂ akan berdistribusi normal.

Jika kedua populasi tidak normal tapi ukuran sampel besar (𝑛 ≥ 30) maka distribusi dari Xbar₁ − Xbar₂ akan berdistribusi mendekati normal (Sesuai Central Limit Theorem )

Teorema

Bila sampel bebas berukuran 𝑛₁dan 𝑛₂ diambil dari dua populasi yang besar dan tak hingga masing-masing dengan rata-rata µ₁ dan µ₂dan varians 𝜎₁² dan 𝜎₂², maka beda kedua rata-rata sampel Xbar₁ − Xbar₂ akan menyebar menghampiri normal dengan rata-rata dan simpangan baku

\[ {\mu}_{\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}}= \mu_1 – \mu_2 \]

\[ {\sigma}_{ \overline{X}_1-\overline{X}_2 } = \sqrt{ \frac{\sigma^{2}_1} {n_1} + \frac{\sigma^{2}_2} {n_2} } \]

Sehingga :

\[ Z = \frac{ (\overline{X}_1 – \overline{X}_2) – (\mu_1 – \mu_2) } {\frac {\sigma^{2}_1} {n_1} + \frac{\sigma^{2}_2} {n_2} } \]

merupakan peubah acak yang berdistribusi normal baku.

Jika Varians Populasi Tidak Diketahui

Asumsi Varians Populasi Sama (𝜎²₁ = 𝜎²₂ )

\[ t_{n_1 + n_2 – 2} =\frac{ (\overline{X}_1 – \overline{X}_2) – (\mu_1 – \mu_2) }{Sp \sqrt{(1/n_1)+(1/n_2)}} \]

\[ S^{2}_p = \frac{ (n_1 – 1)S^{2}_1 + (n_2 – 1)S^{2}_2 } {n_1 + n_2 – 2} \]

Asumsi Varians Populasi Sama (𝜎²₁ ≠ 𝜎²₂)

\[ t_v =\frac{(\overline{X}_1 – \overline{X}_2) – (\mu_1 – \mu_2) }{ \sqrt{(S^{2}_1/n_1)+(S^{2}_2/n_2)}} \]

\[ v = \frac{{(S^{2}_1/n_1+ S^{2}_2/n_2)}^{2} } {[(S^{2}_1/n_1)/(n_1 – 1)] + [(S^{2}_2/n_2)/(n_2 – 1)] } \]

Contoh

Gaji pertama lulusan MBA dari lulusan 2 universitas berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku sebagai berikut.

	Universitas 1	Universitas 2
Rata-rata	62.000 $/th	60.000 $/th
Simpangan baku	14.500 $/th	18.300 $/th
Ukuran sampel	50	60

Tentukan distribusi sampling dari Xbar₁– Xbar₂!

Penyelesaian:

Xbar₁–Xbar₂ akan berdistribusi normal dengan

\[ Rata-rata \space \space {\mu}_{ \overline{X}_1 – \overline{X}_2 }= \mu_1 – \mu_2 = 62.000 – 60.000 =2.000 \]

\[ Simpangan \space baku \space \space {\sigma}_{ \overline{X}_1-\overline{X}_2 } = \sqrt{ \frac{\sigma^{2}_1} {n_1} + \frac{\sigma^{2}_2} {n_2} } = 3.128,3 \]