Metode Statistika II : Uji Hipotesis Rata-Rata 2 Populasi Independen

📋 Daftar Isi

Apabila Varians Diketahui

Terdapat dua sampel acak yang saling independen masing-masing berukuran n₁ dan n₂ diambil dari dua populasi yang saling independen masing-masing dengan rata-rata μ₁ dan μ₂ dan varians σ₁² dan σ₂².

Statistik uji z berdistribusi normal baku

\[ z = \frac{(\bar{x}_1 – \bar{x}_2 )-(\mu_1 – \mu_2) }{\sqrt{ \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2} } } \]

\[ H_0 \]	\[ H_1 \]	Wilayah Kritis
\[ \mu_1 – \mu_2 \leq d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 > d_0 \]	\[z > z_{\alpha} \]
\[ \mu_1 – \mu_2 \geq d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 < d_0 \]	\[ z < -z_{\alpha} \]
\[ \mu_1 – \mu_2 = d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 \neq d_0 \]	\[ z < -z_{α/2} \space dan \space z > z_{α/2} \]

Apabila Varians Tidak Diketahui

Asumsi Varians Sama

Terdapat dua sampel acak yang saling independen masing-masing berukuran n₁ dan n₂ diambil dari dua populasi yang saling independen masing-masing dengan rata-rata μ₁ dan μ₂.

Statistik uji dengan asumsi varians sama, yakni σ₁² = σ₂² = σ²berdistribusi t dengan derajat bebas n₁ + n₂ – 2

\[ t = \frac{(\bar{x}_1 – \bar{x}_2 )-(\mu_1 – \mu_2) }{s_p\sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } } \]

s_p dapat kita hitung dengan rumus berikut :

\[ s_p = \sqrt{\frac{(n_1 -1)s_1^2 + (n_2 -1)s_2^2}{n_1 + n_2 – 2} } \]

\[ H_0 \]	\[ H_1 \]	Wilayah Kritis
\[ \mu_1 – \mu_2 \leq d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 > d_0 \]	\[t > t_{\alpha;(n_1 + n_2 – 2)} \]
\[ \mu_1 – \mu_2 \geq d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 < d_0 \]	\[ t < -t_{\alpha;(n_1 + n_2 -2)} \]
\[ \mu_1 – \mu_2 = d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 \neq d_0 \]	\[ t < -t_{α/2;(n_1 + n_2 -2)} \space dan \space t > t_{α/2;(n_1 + n_2 – 2)} \]

Asumsi Varians Tidak Sama

Terdapat dua sampel acak yang saling independen masing-masing berukuran n₁ dan n₂ diambil dari dua populasi yang saling independen masing-masing dengan rata-rata μ₁ dan μ₂.

Statistik uji dengan asumsi varian tidak sama, yakni σ₁² ≠ σ₂² berdistribusi t dengan derajat bebas v.

\[ t = \frac{(\bar{x}_1 – \bar{x}_2 )-(\mu_1 – \mu_2) }{\sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} } } \]

\[ H_0 \]	\[ H_1 \]	Wilayah Kritis
\[ \mu_1 – \mu_2 \leq d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 > d_0 \]	\[t > t_{\alpha;v } \]
\[ \mu_1 – \mu_2 \geq d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 < d_0 \]	\[ t < -t_{\alpha;v} \]
\[ \mu_1 – \mu_2 = d_0 \]	\[ \mu_1 – \mu_2 \neq d_0 \]	\[ t < -t_{α/2;v} \space dan \space t > t_{α/2;v} \]

Keterangan :

\[ v = \frac{(s_1^2 / n_1 + s_2^2 / n_2)^2 }{\frac{(s_1^2 /n_1)^2}{n_1 -1} + \frac{(s_2^2 / n_2)^2}{n_2 – 1} } \]

Contoh Soal

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan, dua bahan yang dilapisi. 12 potong bahan 1 diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. 10 potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (setelah disandi) sebanyak 85 satuan dengan standar deviasi 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan standar deviasi sampel 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05 keausan bahan 1 melampaui keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan? Anggap kedua populasi hampir normal dengan varians yang sama.

Penyelesaian :

Diketahui

n₁ = 12

n₂ = 10

Jenis kasus = uji hipotesis rata-rata 2 populasi varians tidak diketahui (asumsi varians sama)

Hipotesis

H₀ : μ₁-μ₂ ≤ 2

H₁ : μ₁-μ₂ > 2

Tingkat Signifikansi

α = 0,05

Statistik Uji

\[ t = \frac{(\bar{x}_1 – \bar{x}_2 )-(\mu_1 – \mu_2) }{s_p\sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } } \]

Wilayah Kritis

t_α;n1+n2-2

t_0,05;20 = 1,725

Statistik Hitung

Sebelum menghitung statistik hitung, kita perlu mencari nilai s_p :

\[ s_p = \sqrt{ \frac{(12-1)16 + (10-1)25}{12+10-2} } = 4,478 \]

Baru kemudian, kita hitung statistik ujinya:

\[ t = \frac{(85-81 ) – 2 }{4,478 \sqrt{ \frac{1}{12} + \frac{1}{10} } } = 1,04 \]

Keputusan

Karena t < 1,725 (berada di daerah penerimaan H₀) keputusan yang diperoleh ialah gagal tolak H₀

Kesimpulan

Pada tingkat signifikansi 5% dan jumlah sampel yang digunakan, tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa keausan bahan 1 melampaui keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan. Dengan kata lain, beda rata-rata kedua populasi tersebut sama dengan 2.