Metode Statistika : Uji Hipotesis Varians 2 Populasi

📋 Daftar Isi

Teorema

Jika s₁² dan s₂² adalah varian dari 2 sampel acak yang saling independen masing-masing dengan ukuran n₁ dan n₂ yang diambil dari 2 populasi normal yang saling independen dengan varian masing-masing σ₁² dan σ₂², maka statistik uji akan mengikuti distribusi F dengan derajat bebas v₁ = n₁-1 dan v₂ = n₂-1.

\[ f = \frac{s_1^2/ \sigma_1^2} {s_2^2/ \sigma_2^2 } = \frac{s_1^2 \sigma_2^2}{s_2^2 \sigma_1^2} \]

Apabila varians sama, σ₁² = σ₂² maka nilai statistik uji f adalah :

\[ f = \frac{s_1^2}{s_2^2}\]

Keterangan :

s₁² dan s₂² adalah varians sampel yang dihitung dari masing-masing sampel acak.

Rasio 2 Varians

Jika kedua populasi berdistribusi normal dan H₀ benar, maka menurut teorema, rasio f=s₁²/s₂² adalah suatu nilai distribusi-F dengan derajat bebas v₁ = n₁-1 dan v₂ = n₂-1 .

\[ H_0 \]	\[ H_1 \]	Wilayah Kritis
\[ \sigma^{2}_1 \leq \sigma^{2}_2 \]	\[ \sigma^{2}_1 > \sigma^{2}_2 \]	\[f > f_{1-\alpha;(v_1,v_2)} \]
\[ \sigma^{2}_1 \geq \sigma^{2}_2 \]	\[ \sigma^{2}_1 < \sigma^{2}_2 \]	\[f < f_{\alpha;(v_1,v_2)} \]
\[ \sigma^{2}_1 = \sigma^{2}_2 \]	\[ \sigma^{2}_1 \neq \sigma^{2}_2 \]	\[f < f_{α/2;(v_1,v_2)} \space dan \space f > f_{1- α/2;(v_1,v_2)} \]

Keterangan :

\[ f_{1-α (v_1,v_2) } = \frac{1}{f_{α(v_2,v_1)}} \]

\[ f_{1-\frac{α}{2} (v_1,v_2) } = \frac{1}{f_{\frac{α}{2}(v_2,v_1)} } \]

Contoh Soal

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gesekan, dua bahan yang dilapisi. 12 potong bahan 1 diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. 10 potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan standar deviasi 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan standar deviasi sampel 5. Apakah beralasan jika dianggap bahwa kedua varians populasi yang tidak diketahui ini mempunyai besar yang sama? Gunakan α=0,10.

Penyelesaian :

Diketahui

n₁ = 12

n₂ = 10

v₁ = 12 – 1 = 11

v₂ = 10 – 1 = 9

Hipotesis

H₀ : σ₁² = σ₂²

H₁ : σ₁² ≠ σ₂²

Tingkat Signifikansi

α = 0,10

Wilayah Kritis

Kasus: uji 2 arah

\[ f_{α/2(v_1,v_2)} \]

\[ = \frac{1}{f_{α/2(v_2,v_1)} } \]

\[=\frac{1}{f_{0,05(9,11)} } \]

\[= \frac{1}{2,90} \]

\[ = 0,34 \]

\[ f_{1-α/2(v_1,v_2)} \]

\[= f_{0,95(11,9)} \]

\[ = 3,10 \]

Statistik Uji

\[ f = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{16}{25} = 0,64\]

Keputusan

Karena nilai statistik uji f < 3,10 berada di daerah penerimaan sehingga keputusan yang diperoleh ialah gagal tolak H₀

Kesimpulan

Pada tingkat signifikansi 0,10 dan jumlah sampel yang digunakan, terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa kedua varians populasi memiliki besar yang sama.