Metode Statistika II : Uji Hipotesis Proporsi 2 Populasi

📋 Daftar Isi

Uji Hipotesis Proporsi

Dalam implementasi uji hipotesis, bisa jadi ada persoalan terkait perbedaan antara dua proporsi (persentase). Misalnya, tidak ada perbedaan antara nilai metode statistika mahasiswa perempuan dengan laki-laki, jumlah penduduk yang belum menikah di suatu wilayah lebih besar daripada yang sudah menikah, dan masih banyak contoh lainnya.

Uji hipotesis beda proporsi memiliki dua kemungkinan outcome, yakni sukses (memiliki karakteristik tertentu yang diamati) dan gagal (tidak memiliki karakteristik tertentu yang diamati. Sedangkan proporsi dalam kategori sukses dinotasikan dengan p.

Proporsi kejadian sukses pada sampel 1

\[ \widehat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} \]

Proporsi kejadian sukses pada sampel 2

\[ \widehat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} \]

Keterangan :

x_i = jumlah kejadian sukses dari sampel ke-i

n_i = ukuran sampel ke-i

i = 1, 2

Jika n₁ dan n₂ cukup besar, beda proporsi dari dua populasi dapat diapproksimasi dengan distribusi normal dengan rata-rata dan standar deviasi sebagai berikut:

\[ \mu_{\widehat{p}_1 – \widehat{p}_2 } = p_1 – p_2 \]

\[ \sigma_{\widehat{p}_1 – \widehat{p}_2 } = {\sqrt{ \frac{p_1(1- p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1- p_2)} {n_2} }} \]

Karena p₁ dan p₂ tidak diketahui, maka ada dua asumsi yaitu proporsi tidak sama p₁≠ p₂ dan proporsi sama p₁ = p₂

Asumsi proporsi sama

Apabila p₁ = p₂= p, statistik uji z berdistribusi normal baku dan dapat dihitung dengan rumus :

\[ z = \frac{ \widehat{p}_1 – \widehat{p}_2 } {\sqrt { \widehat{p} (1- \widehat{p}) \left ( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right ) } } \]

\[ \widehat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} \]

\[ H_0 \]	\[ H_1 \]	Wilayah Kritis
\[ p_1 – p_2 \geq 0 \]	\[ p_1 – p_2 < 0 \]	\[ z < -z_{\alpha} \]
\[ p_1 – p_2 \leq 0 \]	\[ p_1 – p_2 > 0 \]	\[ z > z_{\alpha} \]
\[ p_1 – p_2 = 0 \]	\[ p_1 – p_2 \neq 0 \]	\[ z < -z_{α/2} \space dan \space z > z_{α/2} \]

Asumsi proporsi tidak sama

Apabila p₁ ≠ p₂, statistik uji z berdistribusi normal baku dan dapat dihitung dengan rumus :

\[ z = \frac{(\widehat{p}_1 – \widehat{p}_2 ) – p_0 } {\sqrt{ \frac{\widehat{p}_1(1- \widehat{p}_1)}{n_1} + \frac{\widehat{p}_2(1- \widehat{p}_2)} {n_2} }} \]

\[ H_0 \]	\[ H_1 \]	Wilayah Kritis
\[ p_1 – p_2 \geq p_0 \]	\[ p_1 – p_2 < p_0 \]	\[ z < -z_{\alpha} \]
\[ p_1 – p_2 \leq p_0 \]	\[ p_1 – p_2 > p_0 \]	\[ z > z_{\alpha} \]
\[ p_1 – p_2 = p_0 \]	\[ p_1 – p_2 \neq p_0 \]	\[ z < -z_{α/2} \space dan \space z > z_{α/2} \]

Keterangan :

p₀ = p₁–p₂

Contoh Soal

Perusahaan Rafri mengklaim telah menerima 8% lebih banyak tanggapan proses pengiriman surat dari kelompok Bapak-Bapak dibandingkan kelompok Emak-Emak. Untuk menguji klaim ini, 500 orang Bapak-Bapak disurvei dan memberikan 200 tanggapan, 400 orang Emak-Emak disurvei dan memberikan 100 tanggapan. Ujilah klaim perusahaan tersebut pada tingkat signifikansi 0,05.

Penyelesaian :

Diketahui

Jenis kasus : uji hipotesis proporsi dua populasi dengan asumsi proporsi tidak sama

x₁ : 200

x₂ : 100

n₁ : 500 (Bapak-Bapak)

n₂ : 400 (Emak-Emak)

\[ \widehat{p}_1 = \frac{200}{500} = 0,4 \]

\[ \widehat{p}_2 = \frac{100}{400} = 0,25 \]

Hipotesis

H₀ : p₁–p₂ ≤ 0,08

H₁ : p₁–p₂ > 0,08

Tingkat Signifikansi

α = 0,05

Statistik Uji

\[ z = \frac{(\widehat{p}_1 – \widehat{p}_2 ) – p_0 } {\sqrt{ \frac{\widehat{p}_1(1- \widehat{p}_1)}{n_1} + \frac{\widehat{p}_2(1- \widehat{p}_2)} {n_2} }} \]

Titik Kritis

Z_α = Z_0,05 = 1,645

Wilayah Penolakan

Nilai Statitisk Uji

\[ z_{hitung} = \frac{(0,4 – 0,25 ) – 0,08 } {\sqrt{ \frac{0,4 (1- 0,4)}{500} + \frac{0,25(1- 0,25 } {400} }} = 2,273\]

Keputusan

z_hitung bernilai 2,273, artinya z_hitung > 1,645 jatuh di daerah penolakan sehingga keputusan yang diperoleh ialah tolak H₀

Kesimpulan

Pada tingkat signifikansi 5% dan jumlah sampel yang digunakan, cukup bukti untuk menyatakan bahwa tanggapan proses pengiriman surat yang diterima Perusahaan Rafri dari kelompok Bapak-Bapak 8% lebih banyak dibandingkan kelompok Emak-Emak.