Metode Statistika II : Goodness of Fit

📋 Daftar Isi

Uji Goodness of Fit merupakan uji statisik yang berguna untuk mengetahui apakah suatu kumpulan data observasi mengikuti suatu distribusi tertentu. Kali ini, yang akan kita bahas ialah distribusi normal.

Hipotesis

H₀ : Populasi mengikuti distribusi normal : X~N(μ,𝜎²)

H₁ : Populasi tidak mengikuti distribusi nomal

Statistik Uji

Chi-Square
Data dikelompokkan dalam beberapa kelas (k)
Uji ini dipengaruhi oleh cara pengelompokkan data tersebut
Uji ini memerlukan sampel yang cukup besar (𝑛 ≥ 30)

\[ \chi^{2}_{hitung} = \sum_{i=1}^{k} \frac{(o_i – e_i)^2}{e_i} \]

Di mana e_i = n[ F(X_u) – F(X_L) ]

o_i = Frekuensi observasi

e_i = Frekuensi harapan

F = Fungsi distribusi kumulatif

n = jumlah sampel

X_u = Tepi atas kelas ke I

X_L = Tepi bawah kelas ke i

Wilayah Kritis

Tolak H₀ jika :

\[ \chi^{2}_{hitung} = \chi^{2}_{\alpha;(k-1-p)} \]

k = jumlah kelas/kelompok

p = banyaknya parameter

Contoh Soal

Suatu data hasil penelitian yang disajikan dalam Tabel Distribusi Frekuensi dianggap mengikuti fungsi normal. Data dikelompokkan ke dalam 9 kelas dengan α = 0,05. Ujilah hipotesis bahwa observasi mengikuti distribusi normal. Diketahui nilai estimasi rata-rata adalah 184,3 dan nilai estimasi varians sadalah 211,4116.

Nilai observasi	Frekuensi observasi
150-158	9
159-167	24
168-176	51
177-185	66
186-194	72
195-203	48
204-212	21
213-221	6
222-230	3

Penyelesaian

Penentuan banyaknya kelas (k) dapat digunakan menurut aturan Sturges: k= 1 + 3,22 log n. Namun, karena jumlah kelas sudah diketahui di soal, maka kita tidak perlu menghitungnya lagi.

Hipotesis

H₀ : Populasi mengikuti distribusi normal

H₁ : Populasi tidak mengikuti distribusi normal

Statistik Hitung

Untuk mendapatkan peluang di bawah kurva normal :

\[ z = \frac{x-\mu}{\sigma} \]

x : Tepi kelas sebenarnya (tepi bawah dikurangi 0,5 sedangkan tepi atas ditambah 0,5)

Contoh perhitungan kelas pertama :

P(X ≤ 158,5) = P(Z < -1,774) = P(Z<-1,77) = 0,038

Nilai observasi	Frekuensi observasi (o_i)	Peluang	Frekuensi harapan (e_i)
≤ 158	9	0,0380	11,40
159-167	24	0,0860	25,79
168-176	51	0,1719	51,56
177-185	66	0,2371	71,12
186-194	72	0,2256	67,69
195-203	48	0,1482	44,45
204-212	21	0,0671	20,13
213-221	6	0,0210	6,29
≥ 222	3	0,0053	1,58
	300	1,0000	300

Pada kelas pertama, digunakan batas atas kelas saja. Sedangkan pada kelas terakhir, digunakan batas bawah kelas saja.

Pada kelas terakhir, yakni kelas 9 memiliki frekuensi harapan di bawah 5 sehingga digabungkan dengan kelas sebelumnya, sehingga menjadi :

Nilai observasi	Frekuensi observasi (o_i)	Peluang	Frekuensi harapan (e_i)
≤ 158	9	0,0380	11,40
159-167	24	0,0860	25,79
168-176	51	0,1719	51,56
177-185	66	0,2371	71,12
186-194	72	0,2256	67,69
195-203	48	0,1482	44,45
204-212	21	0,0671	20,13
≥ 213	9	0,0263	7,87
	300	1,0000	300

Sehingga diperoleh statistik hitungnya :

\[ \chi^{2}_{hitung} = \sum_{i=1}^{k} \frac{(o_i – e_i)^2}{e_i} \\ = 1,232 \]

Wilayah Kritis

\[\chi^{2}_{tabel} = \chi^{2}_{\alpha;(k-1-p)} \\ = \chi^{2}_{0,05;(5)} \\ = 11,07 \]

Keputusan

Diperoleh bahwa

\[ \chi^{2}_{hitung} < \chi^{2}_{tabel} \]

Maka keputusannya ialah gagal tolak H₀

Kesimpulan

Dengan tingkat kepercayaan 95 persen dan jumlah sampel yang digunakan, cukup bukti untuk menyatakan bahwa data observasi tersebut mengikuti sebaran normal.