Metode Statistika II : Uji Bartlett

📋 Daftar Isi

Jika dari k populasi normal yang saling bebas, masing-masing diambil sampel sebanyak n₁, n₂,…, n_k maka pengujian terhadap kesamaan varians dari k populasi tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett.

Statistik Uji

\[ b = \frac{\left [ (s_{1}^{2})^{n_1 – 1} ~ (s_{2}^{2})^{n_2 – 1} ~ \cdots ~ (s_{k}^{2})^{n_k – 1} \right ] ^{1/(N-k)} }{s_{p}^{2} } \]

Rumus menghitung s²_p

\[ s^2_{p} = \frac{ \sum_{i=1}^{k} (n_i -1)s_i^{2} }{N-k} \]

Wilayah Kritis

Uji Bartlett memberikan niai kritis yang pasti jika ukuran sampel dari k populasi sama (n₁=n₂= … n_k=n) dan memberikan nilai kritis berupa hamparan untuk ukuran sampel yang tidak sama pada k populasi tersebut.

Lihat tabel Bartlett untuk melihat nilai kritisnya.

Jika jumlah sampel sama

\[ b_k (\alpha;n) \]

Jika jumlah sampel tidak sama

\[ b_k (\alpha;n_1,n_2, …, n_k) \cong \frac{n_1 b_k (\alpha;n_1) +n_2 b_k (\alpha;n_2) + … n_k b_k (\alpha;n_k) +}{N} \]

Keterangan :

\[ N = \sum_{i=1}^{k} n_i \]

Keputusan

Tolak H₀ jika

\[ b_{hitung} < b_k (\alpha;n) \]

atau

\[ b_{hitung} < b_k (\alpha;n_1,n_2, …, n_k) \]

Contoh Soal

Ada yang mengatakan bahwa mobil mahal dirakit dengan lebih hati-hati dibandingkan mobil murah. Untuk menyelidiki hal tersebut, diambil 3 tipe mobil, yaitu mobil mewah tipe A, mobil sedang tipe B, dan mobil murah tipe C untuk diselidiki berapa banyak bagian yang cacat. Semua mobil diproduksi oleh pabrik yang sama. Data banyaknya catat dari beberapa mobil bagi ketiga tipe adalah sebagai berikut. Ujilah apakah varians banyaknya cacat dari ketiga tipe mobil sama (α=5%).

Tipe A	Tipe B	Tipe C
4	5	8
7	1	6
6	3	8
6	5	9
	3	5
	4

Penyelesaian

Hipotesis

H₀ : 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎₃²

H_a : Minimal ada satu varians yang tidak sama

Tingkat Signifikansi

α = 5%

Statistik Uji

\[ b = \frac{\left [ (s_{1}^{2})^{n_1 – 1} ~ (s_{2}^{2})^{n_2 – 1} ~ \cdots ~ (s_{k}^{2})^{n_k – 1} \right ] ^{1/(N-k)} }{s_{p}^{2} } \]

Wilayah Kritis

Pada contoh kasus ini, jumlah sampel tidak sama

n₁ = 4

n₂ = 6

n₃ = 5

N = 15

k = 3

Gunakan tabel bartlett untuk mencari nilai kritis

\[ b_{3} (0,05;4,6, 5) = \frac{4 b_{3} (0,05;4) +6 b_{3} (0,05;6) + 5 b_{3} (0,05;5) } {15} \]

Tolak H₀ jika b_hitung < b₃(0,05;4,6,5)

Statistik Hitung

s₁² = 1,583

s₂² = 2,300

s₃² = 2,700

\[ s_p^{2} = \frac{(3)(1,583) + (5)(2,300) + (4)(2,700)}{12} = 2,254 \]

\[ b = \frac{[(1,583)^{3} (2,300)^{5} (2,700)^{4} ]^{1/12} }{2,254} = 0,9804 \]

Keputusan

Gagal tolak H₀

Kesimpulan

Dengan tingkat kepercayaan 95% dan jumlah sampel yang digunakan, cukup bukti untuk menunjukkan bahwa varians banyaknya cacat untuk ketiga tipe mobil adalah sama.