Metode Statistika II : Latihan Soal Ancova dan Pembahasan

📋 Daftar Isi

Ambo merupakan seorang mahasiswa Politeknik Statistika STIS yang sedang menyelesaikan tugas akhir. Ia ingin mengetahui apakah olahraga lari, angkat beban, dan campuran kedua olahraga tersebut (lari dan angkat beban) berpengaruh terhadap kadar kolesterol dalam tubuh manusia. Di samping itu, untuk meyakinkan hasil penelitiannya, Ambo mempertimbangkan Tanpa olahraga sebagai kontrol dan tingkat signifikansi 5 persen.

Ambo mengambil sejumlah sampel acak dari mahasiswa juniornya yang ada di tingkat 2. Untuk menghemat biaya, Ambo mengambil 4 sampel acak dari kelas 2ST1, 2ST2, 2KS2 dan 2KS3 masing-masing berukuran 8, 8, 10, dan 5 mahasiswa. Pada tahap awal, Ambo mengukur kadar kolesterol pada ke-31 mahasiswa tersebut (pretest) dan 8 minggu kemudian (setelah olahraga dan tanpa olahraga), Ambo kembali mengukur kadar kolesterol semua mahasiswa tersebut (posttest). Hasil pengukuran kadar kolesterol sebagai berikut:

Kadar Kolestrol Sampel Mahasiswa 2ST1, 2ST2, 2KS2, dan 2KS3 pada Pretest dan Posttest
2ST1 (kontrol)	y	75,0	72,5	62,0	60,0	53,0	53,0	65,0	63,5
2ST1 (kontrol)	x	75,0	55,0	54,5	54,0	70,5	51,0	76,0	69,0
2ST2 (lari)	y	49,0	53,5	30,0	40,5	51,5	57,5	49,0	74,0
2ST2 (lari)	x	49,5	50,0	27,5	38,5	50,0	68,5	48,5	60,5
2KS2 (angkat beban)	y	54,5	79,5	64,0	69,0	50,5	58,0	63,5	76,0	55,5	68,0
2KS2 (angkat beban)	x	55,0	78,0	49,5	58,5	64,0	63,5	54,5	75,0	50,5	66,5
2KS3 (lari dan angkat beban)	y	59,0	54,5	50,5	63,0	65,0
2KS3 (lari dan angkat beban)	x	78,0	73,0	47,0	82,0

Penyelesaian

1. Kesamaan Rata-rata Kadar Kolesterol Mahasiswa Kelas 2ST1, 2ST2, 2KS2, dan 2KS3

Hipotesis

H₀ : μ₁= μ₂ = μ₃ = μ₄

H₁ : μ_i ≠ μ_l, ∀i ≠ l dan i = l = 1,2,3,4

Tingkat Signifikansi

α = 5%

Statistik Uji

Diketahui :

k = 4

\[ \sum^k_{i=1} n_i = 31\]

Menggunakan rumus statistik uji F_hit-1 untuk jumlah amatan tidak sama

\[ F_{hit-1} = \frac{JKR_{\mu_i } / (k-1)}{JKG/ (\sum^k_{i=1} n_i – k -1)} \]

\[ F_{hit-1} = \frac{JKR_{\mu_i } / (3)}{JKG/ 26} \]

Wilayah Kritis

Tolak H₀ jika:

\[F_{hit-1} > F_{0,05 ; 3 ;26} \]

\[ F_{hit-1} > 2,98\]

atau jika :

p-value < α

Statistik Hitung

Pada tahap ini, silakan coba hitung sendiri ya! Kemudian cocokkan hasilmu dengan masing-masing nilai berikut :

\[ B_{yy} = \sum^k_{i=1} \frac{y_{i.}^2}{n_i} – \frac{y_{..}^2}{ \sum^k_{i=1}n_i} \\ = 922,6\]

\[ S_{yy} = \sum^k_{i=1} \sum^n_{j=1} y_{ij}^2 – \frac{y_{..}^2 }{\sum^k_{i=1}n_i} \\ = 3455,7 \]

\[ B_{xy} = \sum^k_{i=1} \frac{x_{i.} ~y_{i.}}{n} – \frac{x_{..} ~y_{..}}{\sum^k_{i=1}n_i} \\ = 877,4\]

\[ S_{xy} = \sum^k_{i=1} \sum^n_{j=1} x_{ij} ~y_{ij} – \frac{x_{..} ~y_{..} }{\sum^k_{i=1}n_i} \\ = 2727,5\]

\[ B_{xx} = \sum^k_{i=1} \frac{x_{i.}^2 }{n} – \frac{x_{..}^2} {\sum^k_{i=1}n_i} \\ = 1407,3 \]

\[ S_{xx} = \sum^k_{i=1} \sum^n_{j=1} x_{ij}^2 – \frac{x_{..}^2 }{\sum^k_{i=1}n_i} \\ = 4907,1 \]

Nilai E_yy dapat diperoleh dengan menghitung :

\[ E_{yy} = S_{yy} – B_{yy} \]

Berlaku juga untuk mencari nilai E_xy dan E_xx

Setelah semua nilai dari masing-masing sumber keberagaman diketahui, tahap selanjutnya adalah merepresentasikan nilai-nilai tersebut dalam Tabel Ancova.

Sumber	Jumlah Kuadrat y	Jumlah Perkalian	Jumlah Kuadrat x
Antara Populasi	922,6	877,4	1407,3
Dalam Populasi	2533,1	1850,1	3499,8
Total	3455,7	2727,5	4907,1

Sebelum menghitung nilai statistik uji F_hit-1, kita perlu mencari nilai JKR_μi dan JKG

\[ JKR_{\mu_i}= B_{yy} + \frac{E_{xy}^2}{E_{xx}} + \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} \]

\[ = 922,6 + \frac{(1850,1)^2}{3499,8} – \frac{(2727,5)^2}{4907,1} = 384,6 \]

\[JKG = E_{yy} – \frac{E_{xy}^2 }{E_{xx}} \]

\[ = 2533,1 – \frac{(1850,1)^2}{3499,8} = 1555\]

Sehingga sekarang kita bisa menghitung nilai F_hit-1

\[ F_{hit-1} = \frac{JKR_{\mu_i } / (3)}{JKG/ 26} \]

\[ = \frac{384,6/3}{1555/26} = 2,14\]

Keputusan

Dikarenakan F_hit-1 < F_0,05;3;26 maka keputusan yang kita peroleh ialah Gagal Tolak H₀

Kesimpulan

Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5% dan jumlah sampel sebanyak 31 sampel, dapat dinyatakan bahwa tidak ada perbedaan rata-rata kadar kolesterol dalam tubuh manusia antara kelompok olahraga lari, angkat beban, campuran lari dan angkat beban, dan kelompok tanpa olahraga.

2. Koefisien dari Kovariat

Hipotesis

H₀ : β = 0

H₁ : β ≠ 0

Tingkat Signifikansi

α = 5%

Statistik Uji

Diketahui :

k = 4

\[ \sum^k_{i=1} n_i = 31\]

Menggunakan rumus statistik uji F_hit-2 untuk jumlah amatan tidak sama

\[ F_{hit-2} = \frac{JKR_{\beta } }{JKG/ (\sum^k_{i=1} n_i – k -1)} \]

\[ = \frac{JKR_{\beta}}{JKG/26}\]

Wilayah Kritis

Tolak H₀ jika:

\[F_{hit-2} > F_{0,05;1;26} \]

\[ F_{hit-2} > 4,23\]

atau jika :

p-value < α

Statistik Hitung

Sebelum kita mendapatkan nilai Fhit-2, kita perlu mencari nilai JKG dan JKR_β

\[JKR_{\beta} = \frac{E_{xy}^2 }{E_{xx}} \\= \frac{(1850,1)^2}{3499,8} \\= 978,1\]

Kita sudah mendapatkan nilai JKG dari hasil perhitungan sebelumnya, yakni JKG = 1555

\[ F_{hit-2}= \frac{JKR_{\beta}}{JKG/26} \\ = \frac{978,1}{1555/26 } \\ = 16,35\]

Keputusan

Dikarenakan F_hit-2 > F_0,05;1;26 maka keputusan yang kita peroleh ialah Tolak H₀

Kesimpulan

Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5% dan jumlah sampel sebanyak 31 sampel, dapat dinyatakan bahwa kadar kolesterol dalam tubuh manusia pada saat pretest berpengaruh terhadap kadar kolesterol pada saat posttest.