Himpunan dan Peluang – Peluang Bersyarat

📋 Daftar Isi

Masalah yang sering muncul ketika menghitung peluang adalah terjadinya suatu kejadian apabila suatu kejadian lain telah terjadi.

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat dari munculnya kejadian A jika suatu kejadian yang lain B sudah terjadi didefinisikan sebagai

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Jika P(B) = 0, artinya B tidak terjadi, maka P(A|B) tidak didefinisikan

Teorema

P(A|B) = 1 – P(A^c ∩ B)
0 ≤ P(A|B) ≤ 1
P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁|B) + P(A₂|B) – P(A₁ ∩ A₂ | B)
P(A ∩ B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A) → Multiplication Theorem of Prob

Contoh

Suatu kotak berisi 100 microchip, beberapa diantaranya diproduksi oleh pabrik A dan sisanya oleh pabrik B. Sebagian dari microchip yang diproduksi ternyata tidak memenuhi kualifikasi yang dibakukan (defective). Datanya adalah sebagai berikut

.tg-wrap {padding-bottom: 20px;} .tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;margin:0px auto;} .tg td{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-bottom-width:1px;border-color:black;border-style:solid;border-top-width:1px;border-width:0px; font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-wa1i{font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-6k50{text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-sx1p{font-weight:bold;position:-webkit-sticky;position:sticky;text-align:center;top:-1px;vertical-align:middle; will-change:transform} .tg .tg-awal{width: 20%;font-weight:bold;position:-webkit-sticky;position:sticky;text-align:center;top:-1px;vertical-align:middle; will-change:transform} .tg .tg-vkbb{font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:middle} .tg .tg-nrix{text-align:center;vertical-align:middle} @media screen and (max-width: 767px) {.tg {width: auto !important;}.tg col {width: auto !important;}.tg-wrap {overflow-x: auto;-webkit-overflow-scrolling: touch;margin: auto 0px;}}

Pabrik	Defective (D)	Non Defective (D^c)	Jumlah
A	5	15	20
B (A^c)	35	45	80
Jumlah	40	60	100

Jika suatu microchip diambil secara acak, maka

Berapa peluang memperoleh microchip yang defective?
Berapa peluang memperoleh microchip yang defective jika diketahui berasal dari pabrik B?
Berapa peluang memperoleh microchip yang defective dari pabrik B?

Teorema Law of Total Probability

Jika B₁, B₂, …, B_k adalah kumpulan dari mutually exclusive dan exhaustive event, maka untuk sembarang kejadian dari A, berlaku sebagai berikut

\[ P(A) = \sum^k P(B_i) P(A|B_i) \]

Contoh

Jika terdapat tiga pabrik B₁, B₂, dan B₃ yang memproduksi barang sejenis, yang mana produksi barang dapat dinyatakan sebagai defective (D) atau non defective (D^c)

Pabrik	Defective (D)	Non Defective (D^c)	Jumlah
B₁	5	20	25
B₂	10	25	35
B₃	5	35	40
Jumlah	20	80	100

Jika diambil satu produk secara acak, maka peluang bahwa defective adalah…

\[ P(A) = \frac{20}{100} = 0,20 \]

atau

\[ P(A) = \sum_{i=1}^{3} P(B_i) P(A|B_i) \] \[ P(A) = \frac{25}{100} \cdot \frac{5}{25} + \frac{35}{100} \cdot \frac{10}{35} + \frac{40}{100} \cdot \frac{5}{40} \] \[ P(A) = 0,20 \]

Baca Juga : Himpunan dan Peluang – Ruang Kejadian

Teorema Bayes’ Rule

Jika diasumsikan Law of Total Probability berlaku, maka untuk setiap j = 1, 2, …, k, maka…

\[ P(B_j|A) = \frac{P(B_j) P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(B_i) P(A|B_i)} \]

Contoh

Hitunglah peluang suatu produk yang berasal dari pabrik B₁ jika diketahui produk tersebut defective!

\[ P(B_1|A) = \frac{P(B_1) P(A|B_1)}{\sum_{i=1}^{k} P(B_i) P(A|B_i)} \] \[ P(B_1|A) = \frac{\frac{25}{100} \cdot \frac{5}{25}}{\frac{25}{100} \cdot \frac{5}{25} + \frac{35}{100} \cdot \frac{10}{35} + \frac{40}{100} \cdot \frac{5}{40}} \] \[ P(B_1|A) = \frac{5}{20} \]

Kejadian Independen

Dua kejadian A dan B dikatakan sebagai kejadian yang independen atau saling bebas jika P(A ∩ B) = P(A)P(B). Jika tidak berlaku demikian, maka dua kejadian tersebut dikatakan saling dependen atau tidak saling bebas