Stratified Random Sampling – Alokasi Sampel (Part I)

📋 Daftar Isi

\[ n = \sum_{h=1}^{L} n_h \]

n = jumlah sampel yang terambil
L = jumlah strata
n_h = jumlah sampel pada strata ke-h

Alokasi sampel dilakukan karena kita ingin mengalokasikan jumlah sampel yang diinginkan ke dalam strata-strata. Bagaimana caranya kita membelah n menjadi n₁, n₂, . . ., n_L? Berikut beberapa metode alokasi sampel yang dapat dilakukan pada Stratified Random Sampling. Dengan catatan, bahwa pada penulisan artikel ini tahapannya akan semakin kompleks akan tetapi tentu diharapkan makin baik.

1. Alokasi Sembarang

Alokasi ini jarang digunakan karena tidak ada landasan teorinya dan tanpa pertimbangan apapun. Pertimbangan pembagian sampelnya subjektif sehingga jarang digunakan tetapi tetap bisa digunakan dengan pertimbangan expert judgement. Misal ada 100 unit sampel terpilih dibagi menjadi 2 strata dengan strata ke-1 sebesar 25 unit dan strata ke-2 sebesar 75 unit.

2. Alokasi Sama (Equal)

Alokasi sama sering digunakan jika varians strata atau \( S_h^2 \) hampir sama, jumlah sampel untuk tiap strata sama, dengan ukuran sampel untuk strata ke-h yaitu,

\[ n_h = \frac{n}{L} \]

Ukuran sampel keseluruhannya yaitu,

\[ n = \frac{L \sum_{h=1}^{L} N_h^2 S_h^2}{N^2 D^2 + \sum_{h=1}^{L} N_h S_h^2} \]

dengan

\[ D = \frac{d}{Z_{\frac{\alpha}{2}}} \]

d = presisi
\( Z_{\frac{\alpha}{2}} \) = distribusi samplingnya

Varians Sampling untuk Alokasi Sama (Equal)

Untuk pengambilan sampel secara WOR

\[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} W_h^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{n_h} \]

karena

\[ n_h = \frac{n}{L} \]

maka,

\[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} W_h^2 (1-f_h) \frac{s_h^2 L}{n} \] \[ v(\bar{y}_{st}) = \frac{L}{n} \sum_{h=1}^{L} W_h^2 (1-f_h) s_h^2 \]

Untuk pengambilan sampel secara WR

\[ v(\bar{y}_{st}) = \frac{L}{n} \sum_{h=1}^{L} W_h^2 s_h^2 \]

3. Alokasi Sebanding (Proportional)

Konsep dari alokasi ini adalah jumlah sampel untuk setiap strata, proporsional terhadap ukuran subpopulasinya (populasi stratanya). Alokasi ini sering digunakan jika varians strata atau \( S_h^2 \) tidak berbeda signifikan antara strata yang satu dengan strata yang lainnya. Misalkan jumlah populasinya sebanyak N unit yang terbagi menjadi N₁, N₂, . . . , N_L unit. Jika N_h makin kecil maka jatah untuk terambil sebagai sampel yaitu n_h makin kecil pula. Ukuran sampel strata ke-h yaitu,

\[ n_h = \frac{N_h}{N} n \]

dimana,

n = jumlah sampel
n_h = jumlah sampel pada strata ke-h
N = jumlah populasi
N_h = jumlah populasi di strata ke-h

Ukuran sampel keseluruhannya yaitu,

\[ n = \frac{N \sum_{h=1}^{L} N_h S_h^2}{N^2 D^2 + \sum_{h=1}^{L} N_h S_h^2} \]

Fraksi Sampling

Fraksi sampling dengan alokasi sebanding (proportional) akan sama untuk setiap stratanya

\[ f_h = \frac{n_h}{N_h} \]

karena sebanding, maka

\[ \frac{n_h}{n} = \frac{N_h}{N} \] \[ \frac{n_h}{N_h} = \frac{n}{N} \]

sehingga,

\[ f_h = \frac{n}{N} \] \[ f_h = f \]

Note:
Dengan alokasi sebanding (proportional) akan membentuk selfweighting design (desain yang tertimbang otomatis)

Estimasi Rata-Rata untuk Alokasi Sebanding (Proportional)

Catatan yang perlu diingat sebelum melakukan penjabaran rumus yang akan dibahas pada tulisan di bawah antara lain,

\[ W_h = \frac{N_h}{N} \] \[ \bar{y}_h = \frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h} y_{h_{i}} \] \[ f_h = \frac{n_h}{N_h} \] \[ f_h = \frac{n}{N} \] \[ f_h N = n \]

Dengan catatan rumus yang perlu dipahami di atas, maka kita akan jabarkan pencarian estimasi rata-rata dengan alokasi sebanding (proportional) yaitu.

\[ \bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{L} W_h \bar{y}_h \] \[ \bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{L} \frac{N_h}{N} \bar{y}_h \] \[ \bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{L} \frac{N_h}{N} \frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h} y_{h_{i}} \] \[ \bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{L} \frac{1}{N f_h} \sum_{i=1}^{n_h} y_{h_{i}} \] \[ \bar{y}_{st} = \frac{1}{n} \sum_{h=1}^{L} \sum_{i=1}^{n_h} y_{h_{i}} \]

Varians Sampling untuk Alokasi Sebanding (Proportional)

Untuk pengambilan sampel secara WOR

\[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} W_h^2 \frac{1-f_h}{n_h} s_h^2 \] \[ v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{L} \frac{N_h^2}{N^2} \frac{1-f}{n_h} s_h^2 \] \[ v(\bar{y}_{st}) = \frac{(1-f)}{n} \sum_{h=1}^{L} W_h s_h^2 \]